Номер 121, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 121, страница 25.

Условие.

121. Может ли быть простым числом:

1) произведение двух различных чисел;

2) значение площади квадрата, длина стороны которого выражается натуральным числом?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

1) произведение двух различных чисел;

Да, простое число может быть произведением двух различных чисел. По определению, простое число — это натуральное число, большее 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Обозначим любое простое число буквой $p$.

Любое простое число $p$ можно представить в виде произведения $p = 1 \cdot p$. Множители в этом произведении — это числа 1 и $p$. Поскольку по определению простого числа $p > 1$, то $p \neq 1$. Следовательно, множители 1 и $p$ являются различными числами.

Например, простое число 5 можно представить как произведение двух различных чисел: $5 = 1 \cdot 5$.

Ответ: да, может.

2) значение площади квадрата, длина стороны которого выражается натуральным числом?

Нет, значение площади такого квадрата не может быть простым числом. Пусть $a$ — это длина стороны квадрата, выраженная натуральным числом ($a \in \mathbb{N}$, то есть $a \ge 1$). Площадь квадрата $S$ вычисляется по формуле $S = a^2$.

Рассмотрим два возможных случая для значения $a$:

1. Если $a = 1$, то площадь $S = 1^2 = 1$. Число 1 не является простым, так как у него только один натуральный делитель (само число 1), а у простого числа по определению их должно быть ровно два.

2. Если $a > 1$ (то есть $a$ — это натуральное число, равное 2, 3, 4, ...), то число $S = a^2$ имеет как минимум три различных натуральных делителя: $1$, $a$ и $a^2$. Так как $a > 1$, то $1 < a < a^2$, и все три делителя различны. Например, если сторона квадрата $a = 3$, то площадь $S = 9$. Делителями числа 9 являются 1, 3, 9 — их три.

Поскольку простое число должно иметь ровно два различных натуральных делителя, а число $S=a^2$ ни при каком натуральном $a$ не удовлетворяет этому условию, оно не может быть простым.

Ответ: нет, не может.