Номер 117, страница 24 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 117, страница 24.

Условие.

117. Сколько существует чисел, которые можно разложить на два двузначных простых множителя, один из которых на 2 больше другого? Воспользуйтесь таблицей простых чисел.

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, нам нужно найти количество чисел, которые являются произведением двух двузначных простых множителей, причем один множитель на 2 больше другого.

Пусть $p_1$ и $p_2$ — это два простых множителя. Условия, которым они должны удовлетворять:

• $p_1$ и $p_2$ — простые числа.
• $p_1$ и $p_2$ — двузначные, то есть находятся в диапазоне от 10 до 99.
• $p_2 = p_1 + 2$.

Такие пары простых чисел $(p_1, p_2)$ называются простыми-близнецами. Нам нужно найти все пары простых-близнецов, состоящие из двузначных чисел.

Для этого выпишем все простые числа от 10 до 99:

11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Теперь найдем среди этих чисел пары, разница между которыми равна 2:

• (11, 13): оба числа простые и двузначные. Это первая пара. Число, которое они образуют: $11 \times 13 = 143$.
• (17, 19): оба числа простые и двузначные. Это вторая пара. Число: $17 \times 19 = 323$.
• (29, 31): оба числа простые и двузначные. Это третья пара. Число: $29 \times 31 = 899$.
• (41, 43): оба числа простые и двузначные. Это четвертая пара. Число: $41 \times 43 = 1763$.
• (59, 61): оба числа простые и двузначные. Это пятая пара. Число: $59 \times 61 = 3599$.
• (71, 73): оба числа простые и двузначные. Это шестая пара. Число: $71 \times 73 = 5183$.

Следующее простое число после 73 — это 79, но $79+2=81$, что не является простым числом. Проверим далее: $89+2=91=7 \times 13$, не простое. Последнее двузначное простое число 97, но $97+2=99$, не простое. Других таких пар среди двузначных простых чисел нет.

Каждая найденная пара множителей дает одно уникальное число. Всего мы нашли 6 таких пар. Следовательно, существует 6 чисел, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: 6.