Номер 123, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 123, страница 25.

Условие.

123. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражаются натуральными числами, а периметр — простым числом (длины сторон и периметр прямоугольника выражены в одних и тех же единицах измерения)? Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b. Согласно условию задачи, a и b являются натуральными числами. Натуральные числа — это целые положительные числа, то есть $a \ge 1$ и $b \ge 1$.

Периметр прямоугольника P вычисляется по формуле:

$P = 2a + 2b = 2(a + b)$

Из этой формулы видно, что периметр P всегда является произведением числа 2 на сумму сторон $(a+b)$. Поскольку a и b — натуральные числа, их сумма $(a+b)$ также является натуральным числом.

Найдем наименьшее возможное значение суммы $(a+b)$. Так как наименьшее значение для a равно 1 и для b равно 1, то наименьшее значение их суммы будет $1+1=2$. Таким образом, $(a+b) \ge 2$.

Это означает, что периметр $P = 2(a+b)$ всегда является произведением двух натуральных чисел, каждое из которых не меньше 2. Следовательно, периметр P всегда является четным и составным числом (поскольку он имеет как минимум три делителя: 1, 2 и $(a+b)$). Например, наименьший возможный периметр равен $P = 2(1+1) = 4$.

По условию, периметр P должен быть простым числом. Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Единственное четное простое число — это 2. Все остальные четные числа больше 2 являются составными, так как делятся на 2.

Проверим, может ли периметр P быть равен 2. Если предположить, что $P=2$, то из формулы периметра получим:

$2(a+b) = 2$

$a+b = 1$

Однако, как было показано ранее, сумма двух натуральных чисел a и b не может быть равна 1, так как их наименьшая возможная сумма равна 2. Следовательно, периметр не может быть равен 2.

Таким образом, мы приходим к выводу, что периметр прямоугольника с натуральными сторонами всегда является составным четным числом, большим или равным 4, и, следовательно, не может быть простым числом.

Ответ: Нет, такой прямоугольник не существует.