Номер 125, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 125, страница 25.

Условие.

125. Существуют ли три последовательных натуральных числа:

1) каждое из которых является простым;

2) ни одно из которых не является составным?

Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

1) каждое из которых является простым;

Рассмотрим три последовательных натуральных числа: $n$, $n+1$, $n+2$.

Среди любых трех последовательных натуральных чисел одно число обязательно делится на 3. Простое число может делиться на 3 только в том случае, если это само число 3.

Следовательно, чтобы все три числа в последовательности были простыми, одно из них должно быть равно 3. Проверим все возможные варианты:

• Если первое число равно 3, то последовательность: 3, 4, 5. Число 4 является составным, так как $4=2 \cdot 2$.
• Если второе число равно 3, то последовательность: 2, 3, 4. Число 4 является составным.
• Если третье число равно 3, то последовательность: 1, 2, 3. Число 1 не является простым.

В любом случае в тройке последовательных чисел найдется хотя бы одно число, которое не является простым. Таким образом, трех последовательных натуральных чисел, каждое из которых является простым, не существует.

Ответ: не существуют.

2) ни одно из которых не является составным?

Натуральное число является составным, если оно больше 1 и не является простым. Число 1 не является ни простым, ни составным. Простые числа не являются составными. Таким образом, нам нужно найти три последовательных натуральных числа, каждое из которых является либо простым, либо единицей.

Рассмотрим последовательность чисел: 1, 2, 3.

• 1 — не является составным числом.
• 2 — простое число, следовательно, не составное.
• 3 — простое число, следовательно, не составное.

Эта последовательность удовлетворяет условию. Любая другая последовательность трех натуральных чисел $n, n+1, n+2$ при $n > 1$ будет содержать хотя бы одно составное число. Как показано в первом пункте, если $n > 2$, то в тройке всегда будет число, делящееся на 3 и большее 3 (а значит, составное), либо число 4, которое также является составным.

Ответ: существуют, это числа 1, 2 и 3.