Номер 124, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 124, страница 25.

Условие.

124. Может ли произведение ста различных простых чисел делиться нацело:

1) на 3;

2) на 9?

Решение.

Решение 2.

1)

Пусть $P$ — это произведение ста различных простых чисел: $P = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{100}$, где все $p_i$ — это различные простые числа.

Для того чтобы число $P$ делилось нацело на 3, необходимо и достаточно, чтобы среди его простых множителей ($p_1, p_2, \ldots, p_{100}$) было число 3. Это следует из основной теоремы арифметики.

Так как существует бесконечно много простых чисел, мы можем составить набор из ста различных простых чисел, в который будет входить число 3. Например, можно взять первые сто простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, ... Их произведение будет содержать множитель 3, а значит, будет делиться на 3.

Ответ: да, может.

2)

Для того чтобы число делилось нацело на 9, необходимо, чтобы в его разложении на простые множители содержались простые множители числа 9. Разложение числа 9 на простые множители имеет вид: $9 = 3 \cdot 3 = 3^2$.

Это означает, что для делимости произведения $P$ на 9, в его разложении на простые множители (то есть среди чисел $p_1, p_2, \ldots, p_{100}$) число 3 должно встречаться как минимум дважды.

Однако по условию задачи все сто простых чисел являются различными. Следовательно, простое число 3 может входить в набор множителей не более одного раза. Одного множителя 3 недостаточно для делимости на 9.

Таким образом, произведение ста различных простых чисел не может делиться на 9.

Ответ: нет, не может.