Номер 130, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 130, страница 25.

Условие.

130. Найдите количество делителей числа, равного значению выражения:

1) $2^4$

2) $2^3 \cdot 3^2$

3) $2^n \cdot 3^m$, $m$ и $n$ – натуральные числа.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти количество натуральных делителей числа, нужно сначала разложить это число на простые множители. Если каноническое разложение числа $N$ имеет вид $N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}$, где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — их натуральные степени, то количество всех натуральных делителей числа $N$ вычисляется по формуле:
$\tau(N) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\ldots(a_k + 1)$.

1) $2^4$
Число уже представлено в виде степени простого числа. В данном случае у нас один простой множитель $p_1 = 2$ в степени $a_1 = 4$.
Применяем формулу для количества делителей:
$\tau(2^4) = (4 + 1) = 5$.
Действительно, число $2^4 = 16$ имеет 5 делителей: 1, 2, 4, 8, 16.
Ответ: 5

2) $2^3 \cdot 9^3$
Сначала приведем выражение к каноническому виду, разложив все основания степеней на простые множители. Число 9 не является простым: $9 = 3^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$2^3 \cdot 9^3 = 2^3 \cdot (3^2)^3 = 2^3 \cdot 3^{2 \cdot 3} = 2^3 \cdot 3^6$.
Теперь у нас есть каноническое разложение числа с простыми основаниями $p_1 = 2$ и $p_2 = 3$ и их степенями $a_1 = 3$ и $a_2 = 6$.
Найдем количество делителей по формуле:
$\tau(2^3 \cdot 3^6) = (3 + 1)(6 + 1) = 4 \cdot 7 = 28$.
Ответ: 28

3) $2^n \cdot 3^m$, m и n – натуральные числа
Данное выражение уже является каноническим разложением числа на простые множители, так как числа 2 и 3 — простые.
Простой множитель $p_1 = 2$ имеет степень $a_1 = n$.
Простой множитель $p_2 = 3$ имеет степень $a_2 = m$.
Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, мы можем применить формулу для нахождения количества делителей:
$\tau(2^n \cdot 3^m) = (n + 1)(m + 1)$.
Ответ: $(n + 1)(m + 1)$