Номер 127, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 127, страница 25.

Условие.

127. Натуральное число $a$, которое больше 1 и меньше 100, не делится нацело ни на одно из чисел 2, 3, 5 и 7. Верно ли, что число $a$ – простое? Ответ обоснуйте.

Решение.

Решение 2.

Да, это утверждение верно. Для обоснования этого вывода рассмотрим свойства составных чисел.

Любое составное число $a$ имеет хотя бы один простой делитель $p$, который не превышает квадратный корень из этого числа, то есть $p \le \sqrt{a}$.

В условии задачи сказано, что натуральное число $a$ удовлетворяет неравенству $1 < a < 100$. Отсюда следует, что $\sqrt{a} < \sqrt{100} = 10$.

Это означает, что если бы число $a$ было составным, оно должно было бы иметь хотя бы один простой делитель, меньший 10.

Простыми числами, которые меньше 10, являются 2, 3, 5 и 7.

Следовательно, любое составное число, меньшее 100, должно делиться нацело хотя бы на одно из чисел: 2, 3, 5 или 7.

Однако по условию задачи число $a$ не делится ни на одно из этих чисел. Это приводит к выводу, что $a$ не может быть составным числом.

Поскольку $a$ — натуральное число, которое больше 1 и не является составным, то по определению оно является простым.

Другой способ обоснования — доказательство от противного. Предположим, что $a$ — составное число. По условию, оно не делится на 2, 3, 5 и 7. Значит, его простые делители должны быть больше 7. Наименьшее простое число, большее 7, — это 11. Тогда наименьшее составное число, которое можно образовать из таких простых делителей, — это $11 \times 11 = 121$. Но $121 > 100$, что противоречит условию $a < 100$. Следовательно, наше предположение неверно, и $a$ не может быть составным числом.

Ответ: Да, утверждение верно.