Номер 126, страница 25 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 126, страница 25.

Условие.

126. При каком натуральном значении $n$ будет простым числом значение выражения:

1) $2n$;

2) $n^2$;

3) $n(n+1)$?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определение простого числа. Простое число — это натуральное число (1, 2, 3, ...), которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

1) 2n;

Выражение $2n$ является произведением двух натуральных чисел: 2 и $n$. Чтобы их произведение было простым числом, один из сомножителей должен быть равен 1, а второй — самому простому числу. Поскольку один из множителей уже равен 2, рассмотрим возможные значения для $n$.
Если $n=1$, то выражение принимает значение $2 \times 1 = 2$. Число 2 является простым.
Если $n$ — любое натуральное число больше 1 (например, $n=2, 3, 4, \ldots$), то $2n$ будет чётным числом, большим 2. Любое чётное число, большее 2, является составным, так как оно делится не только на 1 и на само себя, но и на 2.
Следовательно, единственное натуральное значение $n$, при котором выражение $2n$ будет простым числом, это $n=1$.
Ответ: $n=1$.

2) n²;

Выражение $n^2$ можно записать как произведение $n \times n$. По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.
Рассмотрим возможные значения $n$.
Если $n=1$, то $n^2 = 1^2 = 1$. Число 1 не является простым по определению (простое число должно быть больше 1).
Если $n > 1$, то у числа $n^2$ есть как минимум три различных делителя: 1, $n$ и $n^2$. Поскольку простое число имеет ровно два делителя, то при любом натуральном $n > 1$ число $n^2$ будет составным.
Таким образом, не существует натурального значения $n$, при котором значение выражения $n^2$ было бы простым числом.
Ответ: такого значения не существует.

3) n(n + 1)?

Выражение $n(n+1)$ представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел: $n$ и $n+1$. Чтобы это произведение было простым числом, один из множителей должен быть равен 1, а другой — самому простому числу.
Рассмотрим два возможных случая, исходя из того, какой множитель равен 1:
1. Пусть $n=1$. Тогда выражение равно $1 \times (1+1) = 1 \times 2 = 2$. Число 2 является простым. Следовательно, $n=1$ является решением.
2. Пусть $n+1=1$. В этом случае $n=0$. Но 0 не является натуральным числом, поэтому этот случай не соответствует условию задачи.
Если $n > 1$, то оба множителя, $n$ и $n+1$, будут натуральными числами больше 1. Их произведение $n(n+1)$ будет иметь как минимум четыре делителя (1, $n$, $n+1$ и само число) и, следовательно, будет составным.
Таким образом, единственное натуральное значение $n$, удовлетворяющее условию, — это $n=1$.
Ответ: $n=1$.