Номер 116, страница 24 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 4. Простые и составные числа. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 116, страница 24.

Условие.

116. Запишите все двузначные числа, разложение которых на простые множители состоит:

1) из двух одинаковых множителей;

2) из трёх одинаковых множителей.

Решение.

Решение 2.

1) из двух одинаковых множителей
Двузначное число, разложение которого на простые множители состоит из двух одинаковых множителей, можно представить в виде $p^2$, где $p$ — простое число. Нам необходимо найти такие простые числа $p$, для которых выполняется неравенство $10 \le p^2 \le 99$.
Найдём границы для $p$, извлекая квадратный корень из границ диапазона: $\sqrt{10} \le p \le \sqrt{99}$.
Так как $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $\sqrt{10}$ находится между 3 и 4. Так как $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$, то $\sqrt{99}$ находится между 9 и 10. Следовательно, мы ищем простые числа $p$ в интервале от 3.16 до 9.95.
Простыми числами в этом интервале являются 5 и 7.
Проверим эти числа:
- для $p=5$: число равно $5^2 = 25$. Это двузначное число, и его разложение на простые множители $5 \times 5$ состоит из двух одинаковых множителей.
- для $p=7$: число равно $7^2 = 49$. Это двузначное число, и его разложение на простые множители $7 \times 7$ состоит из двух одинаковых множителей.
Следующее простое число 11, но $11^2 = 121$, что больше 99.
Ответ: 25, 49.

2) из трёх одинаковых множителей
Двузначное число, разложение которого на простые множители состоит из трёх одинаковых множителей, можно представить в виде $p^3$, где $p$ — простое число. Нам необходимо найти такие простые числа $p$, для которых выполняется неравенство $10 \le p^3 \le 99$.
Найдём границы для $p$, извлекая кубический корень из границ диапазона: $\sqrt[3]{10} \le p \le \sqrt[3]{99}$.
Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{10}$ находится между 2 и 3. Так как $4^3 = 64$ и $5^3 = 125$, то $\sqrt[3]{99}$ находится между 4 и 5. Следовательно, мы ищем простые числа $p$ в интервале от 2.15 до 4.62.
Единственное простое число в этом интервале — это 3.
Проверим это число:
- для $p=3$: число равно $3^3 = 27$. Это двузначное число, и его разложение на простые множители $3 \times 3 \times 3$ состоит из трёх одинаковых множителей.
Следующее простое число 5, но $5^3 = 125$, что больше 99.
Ответ: 27.