Номер 4, страница 30 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы в параграфе. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 4, страница 30.

Условие.

4. Чему равен наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому?

Решение.

Решение 2.

Пусть даны два натуральных числа, обозначим их $a$ и $b$. По условию задачи, одно из чисел кратно другому. Предположим, что число $a$ кратно числу $b$. Это означает, что $a$ делится на $b$ без остатка.

Математически это можно записать так: $a = k \cdot b$, где $k$ — некоторое натуральное число ($k \geq 1$).

Нам необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) этих двух чисел, то есть $НОД(a, b)$. Наибольший общий делитель — это самое большое натуральное число, на которое делятся оба исходных числа.

Рассмотрим делители числа $b$. Любое число $d$, которое является делителем $b$, также будет и делителем числа $a$. Это следует из того, что если $b$ делится на $d$, то $b = m \cdot d$ для некоторого целого $m$. Подставив это в выражение для $a$, получим: $a = k \cdot b = k \cdot (m \cdot d) = (k \cdot m) \cdot d$. Это означает, что $a$ также делится на $d$.

Таким образом, все делители числа $b$ являются одновременно и делителями числа $a$. Следовательно, множество общих делителей чисел $a$ и $b$ полностью совпадает с множеством делителей числа $b$.

Чтобы найти наибольший общий делитель, нужно найти самое большое число в этом множестве. Самым большим делителем любого натурального числа является само это число. Значит, наибольшим делителем числа $b$ является само число $b$.

Так как $a = k \cdot b$ и $k$ — натуральное число, то $a \geq b$. Следовательно, число $b$ является меньшим из двух чисел (или равным $a$, если $k=1$).

Пример:

Возьмем числа 48 и 12. Число 48 кратно 12, так как $48 = 4 \cdot 12$.
Найдем $НОД(48, 12)$.
Делители числа 12: {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Делители числа 48: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}.
Общие делители этих чисел: {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Наибольший общий делитель равен 12, что является меньшим из двух исходных чисел.

Вывод: Если одно из двух чисел кратно другому, то их наибольший общий делитель равен меньшему из этих чисел.

Ответ: Наибольший общий делитель двух чисел, одно из которых кратно другому, равен меньшему из этих чисел.