Номер 139, страница 31 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 5. Наибольший общий делитель. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 139, страница 31.

Условие.

139. Найдите наибольший общий делитель чисел:

1) $16$ и $24$;

2) $15$ и $60$;

3) $10$ и $15$;

4) $45$ и $56$;

5) $21$ и $49$;

6) $12$, $18$ и $24$.

Решение.

Решение 2.

1) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел 16 и 24, разложим их на простые множители.
Разложим число 16 на простые множители: $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$.
Разложим число 24 на простые множители: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Теперь выберем общие множители в обоих разложениях. Это три двойки ($2^3$).
НОД(16, 24) = $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Ответ: 8

2) Чтобы найти НОД чисел 15 и 60, заметим, что 60 делится на 15 без остатка: $60 \div 15 = 4$.
Если одно натуральное число делится на другое, то меньшее из этих чисел является их наибольшим общим делителем.
Следовательно, НОД(15, 60) = 15.
Ответ: 15

3) Найдем НОД чисел 10 и 15, разложив их на простые множители.
Разложение числа 10: $10 = 2 \cdot 5$.
Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$.
Общий простой множитель для этих чисел — это 5.
Следовательно, НОД(10, 15) = 5.
Ответ: 5

4) Найдем НОД чисел 45 и 56, разложив их на простые множители.
Разложение числа 45: $45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
Разложение числа 56: $56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$.
Как видно из разложений, у чисел 45 и 56 нет общих простых множителей. Такие числа называются взаимно простыми.
Наибольший общий делитель взаимно простых чисел всегда равен 1.
Следовательно, НОД(45, 56) = 1.
Ответ: 1

5) Найдем НОД чисел 21 и 49, разложив их на простые множители.
Разложение числа 21: $21 = 3 \cdot 7$.
Разложение числа 49: $49 = 7 \cdot 7 = 7^2$.
Общий простой множитель для этих чисел — это 7.
Следовательно, НОД(21, 49) = 7.
Ответ: 7

6) Найдем НОД для трех чисел: 12, 18 и 24. Для этого разложим все три числа на простые множители.
Разложение числа 12: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Разложение числа 18: $18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$.
Разложение числа 24: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Теперь найдем множители, которые являются общими для всех трех разложений. Это одна двойка (2) и одна тройка (3).
Чтобы найти НОД, перемножим эти общие множители: $2 \cdot 3 = 6$.
Следовательно, НОД(12, 18, 24) = 6.
Ответ: 6