Номер 164, страница 37 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 164, страница 37.

Условие.

164. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 6 и 10;

2) 9 и 12;

3) 14 и 28;

4) 8 и 9;

5) 32 и 48;

6) 8, 9 и 15.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, необходимо разложить данные числа на простые множители, а затем найти произведение всех полученных простых множителей, взятых с наибольшим показателем степени.

1) 6 и 10;

Разложим числа 6 и 10 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
Выберем все простые множители, которые встречаются в разложениях ($2, 3, 5$), каждый с наибольшим показателем степени (в данном случае все в первой степени).
$НОК(6, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
Ответ: 30

2) 9 и 12;

Разложим числа 9 и 12 на простые множители:
$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$
$12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
Выберем множители в наибольшей степени: $2^2$ и $3^2$.
$НОК(9, 12) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$
Ответ: 36

3) 14 и 28;

В данном случае число 28 кратно числу 14 ($28 = 14 \cdot 2$). Если одно из чисел делится на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них.
$НОК(14, 28) = 28$
Проверим через разложение на множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$28 = 2^2 \cdot 7$
$НОК(14, 28) = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28$
Ответ: 28

4) 8 и 9;

Числа 8 и 9 являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей, кроме 1. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.
Разложения на множители:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
Общих множителей нет.
$НОК(8, 9) = 8 \cdot 9 = 72$
Ответ: 72

5) 32 и 48;

Разложим числа 32 и 48 на простые множители:
$32 = 2 \cdot 16 = 2 \cdot 2 \cdot 8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4 = 2^5$
$48 = 2 \cdot 24 = 2 \cdot 2 \cdot 12 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 = 2^4 \cdot 3$
Выберем множители в наибольшей степени: $2^5$ и $3^1$.
$НОК(32, 48) = 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96$
Ответ: 96

6) 8, 9 и 15.

Разложим числа 8, 9 и 15 на простые множители:
$8 = 2^3$
$9 = 3^2$
$15 = 3 \cdot 5$
Выберем все простые множители ($2, 3, 5$) в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях: $2^3$, $3^2$ и $5^1$.
$НОК(8, 9, 15) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$
Ответ: 360