Номер 171, страница 38 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 171, страница 38.

Условие.

171. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти натуральных чисел;

2) первых пяти нечётных чисел;

3) первых пяти простых чисел.

Решение.

Решение 2.

1) первых пяти натуральных чисел;

Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5. Чтобы найти их наименьшее общее кратное (НОК), необходимо найти наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Для этого разложим числа на простые множители:
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = $2^2$
5 = 5
Теперь возьмём каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их. Простые множители, которые у нас есть, это 2, 3 и 5. Наибольшая степень для множителя 2 это $2^2$, для 3 это $3^1$, и для 5 это $5^1$.
$НОК(1, 2, 3, 4, 5) = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Ответ: 60.

2) первых пяти нечётных чисел;

Первые пять нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9. Найдём их НОК. Разложим числа на простые множители:
1 = 1
3 = 3
5 = 5
7 = 7
9 = $3^2$
Простые множители в разложениях: 3, 5, 7. Берём каждый из них в наибольшей степени: $3^2$, $5^1$, $7^1$.
$НОК(1, 3, 5, 7, 9) = 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 9 \cdot 5 \cdot 7 = 315$.
Ответ: 315.

3) первых пяти простых чисел.

Первые пять простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11 (число 1 не является простым).
Поскольку все эти числа простые, они являются взаимно простыми (не имеют общих делителей, кроме 1). Наименьшее общее кратное для набора взаимно простых чисел равно их произведению.
$НОК(2, 3, 5, 7, 11) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$.
Выполним умножение:
$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$
$30 \cdot 7 = 210$
$210 \cdot 11 = 2310$
Таким образом, $НОК(2, 3, 5, 7, 11) = 2310$.
Ответ: 2310.