Номер 175, страница 38 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 175, страница 38.

Условие.

175. Дима и Петя отправились в поход из одного пункта в одном направлении. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2 400 м, а Дима – через каждые 2 800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта отправления места их остановок совпадут?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы найти наименьшее расстояние от точки отправления, на котором места остановок Димы и Пети совпадут, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для расстояний, через которые они делают остановки.

Расстояние между остановками Пети составляет 2400 м.

Расстояние между остановками Димы составляет 2800 м.

Задача сводится к нахождению $НОК(2400, 2800)$.

Для этого разложим числа 2400 и 2800 на простые множители.

Разложение числа 2400:

$2400 = 24 \cdot 100 = (2^3 \cdot 3) \cdot (10^2) = (2^3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^2$

Разложение числа 2800:

$2800 = 28 \cdot 100 = (2^2 \cdot 7) \cdot (10^2) = (2^2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 7 \cdot 2^2 \cdot 5^2 = 2^4 \cdot 5^2 \cdot 7$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их.

Простые множители: 2, 3, 5, 7.

Наибольшая степень для 2: $2^5$

Наибольшая степень для 3: $3^1$

Наибольшая степень для 5: $5^2$

Наибольшая степень для 7: $7^1$

Теперь вычислим НОК:

$НОК(2400, 2800) = 2^5 \cdot 3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 32 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7$

Выполним умножение:

$32 \cdot 3 \cdot 25 \cdot 7 = 96 \cdot 175 = 16800$

Таким образом, наименьшее расстояние от пункта отправления, на котором места их остановок совпадут, равно 16800 метрам.

Ответ: 16800 м.