Номер 174, страница 38 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

174. С одного места в одном направлении по велотреку одновременно стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин, а другой – за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они вновь окажутся в месте старта? Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

Для того чтобы велосипедисты вновь оказались вместе на месте старта, каждый из них должен проехать целое число кругов. Это означает, что искомое время должно быть кратно времени прохождения круга для каждого из них. Нам нужно найти наименьшее такое время, то есть наименьшее общее кратное (НОК) их времен.

Сначала приведем время прохождения круга к единой единице измерения — секундам:

Время первого велосипедиста: $t_1 = 1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$.

Время второго велосипедиста: $t_2 = 45 \text{ с}$.

Чтобы найти наименьшее время, через которое они встретятся на старте, найдем НОК для чисел 60 и 45. Разложим эти числа на простые множители:

$60 = 2 \cdot 30 = 2 \cdot 2 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$

$45 = 3 \cdot 15 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$

Для нахождения НОК возьмем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножим их:

НОК(60, 45) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$

Таким образом, они встретятся на старте через 180 секунд. Переведем это значение в минуты, как требуется в вопросе:

$180 \text{ с} \div 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 3 \text{ мин}$

Ответ: через 3 минуты.

Чтобы определить, сколько кругов проедет каждый велосипедист за это время, разделим общее время (180 секунд) на время одного круга для каждого из них.

Количество кругов первого велосипедиста:

$180 \text{ с} \div 60 \frac{\text{с}}{\text{круг}} = 3 \text{ круга}$

Количество кругов второго велосипедиста:

$180 \text{ с} \div 45 \frac{\text{с}}{\text{круг}} = 4 \text{ круга}$

Ответ: первый велосипедист сделает 3 круга, а второй — 4 круга.