Номер 167, страница 37 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 167, страница 37.

Условие.

167. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

1) 56 и 70;

2) 78 и 792;

3) 320 и 720;

4) 252 и 840.

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) чисел, необходимо разложить эти числа на простые множители. Затем нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в любом из разложений, и перемножить полученные степени.

1) 56 и 70;

Разложим числа 56 и 70 на простые множители:

$56 = 2 \cdot 28 = 2 \cdot 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$

$70 = 2 \cdot 35 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

Выпишем все простые множители, которые входят хотя бы в одно из разложений, причем каждый из них берем с наибольшим показателем степени, с которым он входит в оба разложения. Это множители $2^3$, $5^1$ и $7^1$.

Найдем их произведение, чтобы получить НОК:

$НОК(56, 70) = 2^3 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 5 \cdot 7 = 40 \cdot 7 = 280$

Ответ: 280.

2) 78 и 792;

Разложим числа 78 и 792 на простые множители:

$78 = 2 \cdot 39 = 2 \cdot 3 \cdot 13$

$792 = 2 \cdot 396 = 2^2 \cdot 198 = 2^3 \cdot 99 = 2^3 \cdot 9 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11$

Выберем все простые множители в их наибольших степенях: $2^3$, $3^2$, $11^1$ и $13^1$.

Найдем их произведение:

$НОК(78, 792) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 11 \cdot 13 = 8 \cdot 9 \cdot 11 \cdot 13 = 72 \cdot 143 = 10296$

Ответ: 10296.

3) 320 и 720;

Разложим числа 320 и 720 на простые множители:

$320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot (2 \cdot 5) = 2^6 \cdot 5$

$720 = 72 \cdot 10 = (8 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) = (2^3 \cdot 3^2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5$

Выберем все простые множители в их наибольших степенях: $2^6$ (из разложения 320), $3^2$ (из разложения 720) и $5^1$ (присутствует в обоих разложениях).

Найдем их произведение:

$НОК(320, 720) = 2^6 \cdot 3^2 \cdot 5 = 64 \cdot 9 \cdot 5 = 576 \cdot 5 = 2880$

Ответ: 2880.

4) 252 и 840.

Разложим числа 252 и 840 на простые множители:

$252 = 2 \cdot 126 = 2 \cdot 2 \cdot 63 = 2^2 \cdot 9 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7$

$840 = 10 \cdot 84 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 21) = (2 \cdot 5) \cdot (2^2 \cdot 3 \cdot 7) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Выберем все простые множители в их наибольших степенях: $2^3$, $3^2$, $5^1$ и $7^1$.

Найдем их произведение:

$НОК(252, 840) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 8 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 7 = 72 \cdot 35 = 2520$

Ответ: 2520.