Номер 165, страница 37 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 165, страница 37.

Условие.

165. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел $a$ и $b$:

1) $a=2^3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b=2 \cdot 3^2 \cdot 5$;

2) $a=2^4 \cdot 3 \cdot 11$ и $b=2^2 \cdot 3^3 \cdot 13$.

Решение.

Решение 2.

1) $a = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ и $b = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) чисел, представленных в виде произведения простых множителей, необходимо взять общие для обоих чисел простые множители, каждый с наименьшим показателем степени, с которым он входит в разложения, и перемножить их.

Общими множителями для чисел $a$ и $b$ являются $2, 3$ и $5$.

Для множителя $2$ наименьшая степень равна $1$ (из разложения числа $b$).
Для множителя $3$ наименьшая степень равна $1$ (из разложения числа $a$).
Для множителя $5$ наименьшая степень равна $1$ (входит в оба разложения с одинаковой степенью).

Следовательно, НОД($a, b$) = $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), необходимо взять все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел, каждый с наибольшим показателем степени, и перемножить их.

Простые множители, входящие в разложения: $2, 3, 5$.

Для множителя $2$ наибольшая степень равна $3$ (из разложения числа $a$).
Для множителя $3$ наибольшая степень равна $2$ (из разложения числа $b$).
Для множителя $5$ наибольшая степень равна $1$.

Следовательно, НОК($a, b$) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 72 \cdot 5 = 360$.

Ответ: НОД($a, b$) = 30; НОК($a, b$) = 360.

2) $a = 2^4 \cdot 3 \cdot 11$ и $b = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 13$

Находим наибольший общий делитель (НОД). Общими простыми множителями для чисел $a$ и $b$ являются $2$ и $3$.

Для множителя $2$ берем наименьшую степень: $2^2$.
Для множителя $3$ берем наименьшую степень: $3^1$.

НОД($a, b$) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Находим наименьшее общее кратное (НОК). Берем все простые множители из обоих разложений ($2, 3, 11, 13$) с наибольшими степенями.

Для множителя $2$ берем наибольшую степень: $2^4$.
Для множителя $3$ берем наибольшую степень: $3^3$.
Для множителя $11$ берем его степень: $11^1$.
Для множителя $13$ берем его степень: $13^1$.

НОК($a, b$) = $2^4 \cdot 3^3 \cdot 11^1 \cdot 13^1 = 16 \cdot 27 \cdot 11 \cdot 13 = 432 \cdot 143 = 61776$.

Ответ: НОД($a, b$) = 12; НОК($a, b$) = 61776.