Номер 166, страница 37 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 6. Наименьшее общее кратное. Глава 1. Делимость натуральных чисел - номер 166, страница 37.

Условие.

166. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

чисел $a$ и $b$:

1) $a = 3 \cdot 5^2$ и $b = 3 \cdot 5 \cdot 7$;

2) $a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^4$ и $b = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

Решение.

Решение 2.

1) Даны числа $a = 3 \cdot 5^2$ и $b = 3 \cdot 5 \cdot 7$.

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД), необходимо взять общие простые множители в их наименьшей степени и перемножить их.

Общими множителями для чисел a и b являются 3 и 5. Наименьшая степень для множителя 3 – первая ($3^1$), для множителя 5 – также первая ($5^1$).

НОД($a, b$) = $3^1 \cdot 5^1 = 15$.

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК), необходимо взять все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел, в их наибольшей степени и перемножить их.

Множителями являются 3, 5 и 7. Наибольшая степень для 3 – первая ($3^1$), для 5 – вторая ($5^2$), для 7 – первая ($7^1$).

НОК($a, b$) = $3^1 \cdot 5^2 \cdot 7^1 = 3 \cdot 25 \cdot 7 = 525$.

Ответ: НОД = 15, НОК = 525.

2) Даны числа $a = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^4$ и $b = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5^2$.

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) берем общие простые множители (2, 3, 5) с наименьшими показателями степени.

Наименьшая степень для 2: $2^2$.
Наименьшая степень для 3: $3^2$.
Наименьшая степень для 5: $5^2$.

НОД($a, b$) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 36 \cdot 25 = 900$.

Для нахождения наименьшего общего кратного (НОК) берем все простые множители (2, 3, 5) с наибольшими показателями степени.

Наибольшая степень для 2: $2^3$.
Наибольшая степень для 3: $3^3$.
Наибольшая степень для 5: $5^4$.

НОК($a, b$) = $2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^4 = 8 \cdot 27 \cdot 625 = 216 \cdot 625 = 135000$.

Ответ: НОД = 900, НОК = 135000.