Номер 575, страница 110 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 18. Десятичное приближение обыкновенной дроби. Глава 2. Обыкновенные дроби - номер 575, страница 110.

Условие.

575. Из натурального числа, которое не больше 100, вычли сумму его цифр. Из полученного числа снова вычли сумму его цифр, и так делали несколько раз. После 11 таких вычитаний впервые получили 0. Найдите исходное число.

Решение.

Решение 2.

Обозначим исходное натуральное число как $N_0$. По условию, $N_0 \le 100$.Операция заключается в вычитании из числа суммы его цифр. Обозначим сумму цифр числа $n$ как $S(n)$.Тогда мы строим последовательность чисел:$N_1 = N_0 - S(N_0)$$N_2 = N_1 - S(N_1)$...$N_{k+1} = N_k - S(N_k)$

По условию, после 11 таких вычитаний впервые получили 0. Это значит, что $N_{11} = 0$, а все предыдущие члены последовательности $N_0, N_1, \ldots, N_{10}$ были положительными.

Рассмотрим свойство операции $n - S(n)$. Любое натуральное число $n$ имеет тот же остаток при делении на 9, что и сумма его цифр $S(n)$. То есть, $n \equiv S(n) \pmod{9}$.Следовательно, разность $n - S(n)$ всегда делится на 9.Таким образом, число $N_1 = N_0 - S(N_0)$ должно быть кратно 9. Так как все последующие члены последовательности получаются такой же операцией, все числа $N_1, N_2, \ldots, N_{10}$ являются положительными числами, кратными 9.

Решим задачу, двигаясь в обратном порядке, от $N_{11}$ к $N_0$.Нам известно, что $N_{11} = 0$.Последнее, 11-е вычитание, было таким: $N_{10} - S(N_{10}) = N_{11} = 0$.Отсюда следует, что $N_{10} = S(N_{10})$.Так как $N_{10}$ — это положительное число, кратное 9, то оно может быть однозначным или многозначным.Если $N_{10}$ — однозначное число, то оно равно своей сумме цифр. Единственное положительное однозначное число, кратное 9, это 9.Если $N_{10}$ — двузначное число вида $10a+b$, то уравнение $10a+b = a+b$ дает $9a=0$, что означает $a=0$. Это противоречит тому, что число двузначное.Аналогично для трехзначных и более чисел.Следовательно, $N_{10} = 9$.

Теперь найдем $N_9$.$N_9 - S(N_9) = N_{10} = 9$.$N_9$ — это положительное число, кратное 9, и $N_9 > N_{10}$.Переберем возможные значения $N_9$:

• Если $N_9 = 18$, то $S(18) = 1+8=9$. $18 - 9 = 9$. Это значение подходит.
• Если $N_9 = 27$, то $S(27) = 2+7=9$. $27 - 9 = 18 \ne 9$.
• Для всех последующих кратных 9 чисел (до 81 включительно) сумма цифр будет 9, и разность $N_k - S(N_k)$ будет расти.
• Если $N_9 = 90$, то $S(90)=9$. $90-9=81 \ne 9$.
• Если $N_9 = 99$, то $S(99)=18$. $99-18=81 \ne 9$.

Таким образом, единственное подходящее значение — $N_9 = 18$.

Продолжая рассуждения, найдем $N_8$.$N_8 - S(N_8) = N_9 = 18$.$N_8$ — кратное 9, $N_8 > 18$.

• Если $N_8 = 27$, то $S(27)=9$. $27 - 9 = 18$. Подходит.
• Если $N_8 = 36$, то $S(36)=9$. $36 - 9 = 27 \ne 18$.

Значит, $N_8 = 27$.

Мы видим закономерность: $N_{10}=9$, $N_9=18$, $N_8=27$. Похоже, что $N_k = 9 \times (11-k)$.Восстановим последовательность $N_1, \ldots, N_{10}$:$N_{10} = 9$$N_9 = 18$$N_8 = 27$$N_7 = 36$$N_6 = 45$$N_5 = 54$$N_4 = 63$$N_3 = 72$$N_2 = 81$

Теперь найдем $N_1$.$N_1 - S(N_1) = N_2 = 81$.$N_1$ — кратное 9, $N_1 > 81$. Так как $N_0 \le 100$, то $N_1 = N_0 - S(N_0) < 100$.Возможные значения для $N_1$ — это 90 и 99.

• Если $N_1 = 90$, то $S(90)=9$. $90-9=81$. Подходит.
• Если $N_1 = 99$, то $S(99)=18$. $99-18=81$. Тоже подходит.

Таким образом, $N_1$ может быть равен 90 или 99.

Наконец, найдем исходное число $N_0$.$N_0 - S(N_0) = N_1$.Рассмотрим два случая:
Случай 1: $N_1 = 90$.Уравнение: $N_0 - S(N_0) = 90$.Поскольку $S(N_0) > 0$, то $N_0 > 90$. По условию $N_0 \le 100$.Если $N_0$ — двузначное число ($91 \le N_0 \le 99$), то $N_0 = 10a+b$, где $a=9$. Тогда $N_0 - S(N_0) = (10a+b) - (a+b) = 9a = 9 \times 9 = 81$. Ни одно из этих чисел не дает в результате 90.Если $N_0 = 100$, то $S(100)=1$. $100-1=99 \ne 90$.Значит, этот случай невозможен.
Случай 2: $N_1 = 99$.Уравнение: $N_0 - S(N_0) = 99$.$N_0 > 99$. По условию $N_0 \le 100$. Единственный кандидат — $N_0 = 100$.Проверим: $N_0 = 100$, $S(100) = 1$.$N_0 - S(N_0) = 100 - 1 = 99$. Это значение подходит.

Итак, единственно возможным исходным числом является 100. Проверим всю последовательность:$N_0 = 100$$N_1 = 100 - 1 = 99$$N_2 = 99 - (9+9) = 81$$N_3 = 81 - (8+1) = 72$$N_4 = 72 - (7+2) = 63$$N_5 = 63 - (6+3) = 54$$N_6 = 54 - (5+4) = 45$$N_7 = 45 - (4+5) = 36$$N_8 = 36 - (3+6) = 27$$N_9 = 27 - (2+7) = 18$$N_{10} = 18 - (1+8) = 9$$N_{11} = 9 - 9 = 0$Все условия задачи выполнены.

Ответ: 100