Номер 706, страница 148 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Окружность и круг. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 706, страница 148.

Условие.

706. Начертите отрезок $AB$, длина которого равна 5 см. Постройте окружность радиуса 3 см с центром $A$ и окружность радиуса 4 см с центром $B$. Сколько существует точек пересечения окружностей? Чему равно расстояние от каждой из этих точек до точки $A$? До точки $B$?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи проанализируем данные. Нам дан отрезок $AB$ длиной 5 см. На этом отрезке как на расстоянии между центрами построены две окружности:

• Окружность с центром в точке A и радиусом $r_A = 3$ см.
• Окружность с центром в точке B и радиусом $r_B = 4$ см.

Расстояние между центрами окружностей $d$ равно длине отрезка $AB$, то есть $d = 5$ см.

Сколько существует точек пересечения окружностей?

Чтобы определить количество точек пересечения двух окружностей, нужно сравнить расстояние между их центрами ($d$) с суммой и разностью их радиусов ($r_A + r_B$ и $|r_A - r_B|$).

1. Вычислим сумму радиусов:
$r_A + r_B = 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 7 \text{ см}$.

2. Вычислим абсолютное значение разности радиусов:
$|r_A - r_B| = |3 \text{ см} - 4 \text{ см}| = |-1 \text{ см}| = 1 \text{ см}$.

3. Сравним расстояние между центрами $d = 5$ см с полученными значениями.
Проверяем условие пересечения окружностей в двух точках: $|r_A - r_B| < d < r_A + r_B$.
Подставляем наши значения: $1 \text{ см} < 5 \text{ см} < 7 \text{ см}$.

Неравенство выполняется, следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: существует 2 точки пересечения окружностей.

Чему равно расстояние от каждой из этих точек до точки A?

По определению, любая точка, лежащая на окружности, находится от её центра на расстоянии, равном радиусу. Точки пересечения принадлежат первой окружности, у которой центр в точке A и радиус равен 3 см. Следовательно, расстояние от любой из точек пересечения до точки А равно радиусу этой окружности.

Ответ: расстояние от каждой из этих точек до точки А равно 3 см.

Чему равно расстояние от каждой из этих точек до точки B?

Аналогично, точки пересечения принадлежат и второй окружности, у которой центр находится в точке B, а радиус равен 4 см. Таким образом, расстояние от любой из точек пересечения до точки B будет равно радиусу второй окружности.

Ответ: расстояние от каждой из этих точек до точки B равно 4 см.