Номер 711, страница 149 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Окружность и круг. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 711, страница 149.

Условие.

711. Начертите окружность и отметьте на ней три точки A, B и C. Сколько дуг при этом образовалось?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи сначала представим окружность, на которой отмечены три различные точки, обозначенные как $A$, $B$ и $C$. Эти точки будут служить концами для образующихся дуг.

Дуга окружности — это часть окружности, заключенная между двумя ее точками. Чтобы найти общее количество дуг, образованных тремя точками, необходимо рассмотреть все возможные пары точек, которые могут служить концами дуги.

Из трех точек $A$, $B$ и $C$ можно составить три уникальные пары: ($A$, $B$), ($B$, $C$) и ($C$, $A$). Число таких пар можно также найти с помощью комбинаторной формулы для сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае, из $n=3$ точек мы выбираем пары по $k=2$:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$ пары.

Ключевой момент заключается в том, что каждая пара точек на окружности определяет не одну, а две дуги. Например, точки $A$ и $B$ делят окружность на две части:
- Меньшую дугу, представляющую собой кратчайший путь по окружности от $A$ до $B$.
- Большую дугу, которая является оставшейся частью окружности и представляет собой более длинный путь от $A$ до $B$ (в нашем случае, проходящий через точку $C$).

Таким образом, для каждой из трех пар точек образуется по две дуги:
1. Для пары ($A$, $B$): меньшая дуга $AB$ и большая дуга $ACB$.
2. Для пары ($B$, $C$): меньшая дуга $BC$ и большая дуга $BAC$.
3. Для пары ($C$, $A$): меньшая дуга $CA$ и большая дуга $CBA$.

Чтобы найти общее количество дуг, нужно умножить количество пар точек на количество дуг, образуемых каждой парой:
$3 \text{ пары} \times 2 \text{ дуги} = 6 \text{ дуг}$.

Иногда эту задачу понимают как вопрос о том, на сколько частей три точки делят окружность. В таком случае ответ был бы 3 (дуги $AB$, $BC$ и $CA$, которые вместе составляют всю окружность). Однако, в строгом геометрическом смысле, рассматриваются все возможные дуги, определяемые данными точками как конечными, что приводит к ответу 6.

Ответ: 6.