Номер 712, страница 149 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Окружность и круг. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 712, страница 149.

Условие.

712. Начертите окружность с центром O, радиус которой равен 3 см. Проведите луч с началом в точке O и отметьте на нём точку A, удалённую от точки O на 5 см. Проведите окружность с центром в точке A, радиус которой:

1) 2 см;

2) 2 см 5 мм;

3) 1 см 5 мм.

Сколько общих точек имеют окружности в каждом из этих случаев?

Решение.

Решение 2.

Пусть дана первая окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R_1 = 3$ см. Вторая окружность имеет центр в точке $A$, а её радиус $R_2$ меняется в каждом подпункте. Расстояние между центрами окружностей, согласно условию, равно $d = OA = 5$ см.

Для определения количества общих точек двух окружностей необходимо сравнить расстояние между их центрами $d$ с суммой ($R_1 + R_2$) и разностью ($|R_1 - R_2|$) их радиусов.

1) Радиус второй окружности $R_2 = 2$ см.

Найдём сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 3 \text{ см} + 2 \text{ см} = 5$ см.

Расстояние между центрами $d = 5$ см.

Поскольку расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R_1 + R_2$), окружности касаются друг друга внешним образом. В этом случае они имеют одну общую точку.

Ответ: 1 общая точка.

2) Радиус второй окружности $R_2 = 2$ см 5 мм = $2,5$ см.

Найдём сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 3 \text{ см} + 2,5 \text{ см} = 5,5$ см.

Найдём модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |3 \text{ см} - 2,5 \text{ см}| = 0,5$ см.

Расстояние между центрами $d = 5$ см.

Проверим условие пересечения окружностей: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Подставим наши значения: $0,5 \text{ см} < 5 \text{ см} < 5,5 \text{ см}$. Неравенство верно, следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: 2 общие точки.

3) Радиус второй окружности $R_2 = 1$ см 5 мм = $1,5$ см.

Найдём сумму радиусов: $R_1 + R_2 = 3 \text{ см} + 1,5 \text{ см} = 4,5$ см.

Расстояние между центрами $d = 5$ см.

Сравним расстояние между центрами с суммой радиусов. Видим, что $d > R_1 + R_2$, так как $5 \text{ см} > 4,5 \text{ см}$.

Это означает, что окружности не имеют общих точек и расположены одна вне другой.

Ответ: 0 общих точек.