Номер 719, страница 150 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Окружность и круг. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 719, страница 150.

Условие.

719. 1) Начертите отрезок $AB$, длина которого равна $3$ см. Найдите точку, удалённую от каждого из концов отрезка $AB$ на $2$ см. Сколько существует таких точек?

2) Начертите отрезок $CD$, длина которого равна $3$ см $5$ мм. Найдите точку, удалённую от точки $C$ на $2$ см $5$ мм, а от точки $D$ – на $3$ см. Сколько существует таких точек?

Решение.

Решение 2.

1)

Пусть искомая точка — M. По условию, она должна быть удалена от каждого из концов отрезка AB на 2 см. Это означает, что расстояние от M до A равно 2 см ($MA = 2$ см), и расстояние от M до B равно 2 см ($MB = 2$ см).

Множество всех точек, находящихся на расстоянии 2 см от точки A, образует окружность с центром в A и радиусом $R_A = 2$ см.
Множество всех точек, находящихся на расстоянии 2 см от точки B, образует окружность с центром в B и радиусом $R_B = 2$ см.

Следовательно, искомые точки являются точками пересечения этих двух окружностей. Расстояние между центрами окружностей — это длина отрезка AB, которая равна $d = 3$ см.

Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами $d$ больше модуля разности их радиусов и меньше их суммы: $|R_A - R_B| < d < R_A + R_B$.
Проверим это условие для наших данных:
$|2 - 2| < 3 < 2 + 2$
$0 < 3 < 4$
Неравенство выполняется. Это значит, что окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: Существует две таких точки.

2)

Решение аналогично предыдущему пункту. Пусть искомая точка — N. Расстояние от N до C должно быть 2 см 5 мм, а до D — 3 см.
Для удобства переведём все размеры в сантиметры:
Длина отрезка CD: $d = 3 \text{ см } 5 \text{ мм} = 3.5$ см.
Расстояние от N до C: $R_C = 2 \text{ см } 5 \text{ мм} = 2.5$ см.
Расстояние от N до D: $R_D = 3$ см.

Искомые точки — это точки пересечения двух окружностей:
- Окружность с центром в C и радиусом $R_C = 2.5$ см.
- Окружность с центром в D и радиусом $R_D = 3$ см.

Расстояние между центрами этих окружностей $d = 3.5$ см. Проверим условие пересечения двух окружностей в двух точках: $|R_C - R_D| < d < R_C + R_D$.
Подставим наши значения:
$|2.5 - 3| < 3.5 < 2.5 + 3$
$|-0.5| < 3.5 < 5.5$
$0.5 < 3.5 < 5.5$
Неравенство выполняется. Это означает, что окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: Существует две таких точки.