Номер 724, страница 150 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Окружность и круг. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 724, страница 150.

Условие.

724. На торте кондитер расположил семь кремовых розочек (рис. 38). Как тремя прямолинейными разрезами разделить торт на семь порций, на каждой из которых была бы одна розочка?

Рис. 38

Рис. 38

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы разделить торт с семью розочками на семь порций тремя прямолинейными разрезами, необходимо воспользоваться геометрическим принципом деления плоскости. Максимальное число областей $N$, на которое можно разделить плоскость (в данном случае, поверхность торта) с помощью $n$ прямых, вычисляется по формуле:

$N = \frac{n(n+1)}{2} + 1$

Подставив в формулу количество разрезов $n=3$, мы получим максимальное количество порций:

$N = \frac{3(3+1)}{2} + 1 = \frac{12}{2} + 1 = 6 + 1 = 7$

Это доказывает, что получить 7 порций тремя разрезами возможно. Чтобы достичь этого максимального количества, разрезы должны удовлетворять двум условиям: во-первых, никакие два разреза не должны быть параллельны, и во-вторых, все три разреза не должны пересекаться в одной точке. При соблюдении этих условий три разреза образуют в центре торта небольшой треугольник.

Теперь нужно расположить эти разрезы так, чтобы в каждой из семи получившихся порций оказалась ровно одна розочка. Учитывая, что одна розочка находится в центре, а шесть других — по кругу, решение будет следующим. Разрезы нужно провести так, чтобы центральная розочка оказалась внутри центрального треугольника, образованного пересечениями разрезов. Каждый из трех разрезов должен проходить между двумя парами соседних розочек, расположенных на окружности. Например, если мысленно пронумеровать внешние розочки от 1 до 6 по часовой стрелке, то первый разрез можно провести между розочками 1 и 2, а также между 4 и 5. Второй разрез — между розочками 2 и 3, и между 5 и 6. Третий разрез — между розочками 3 и 4, и между 6 и 1. В результате такого деления центральная розочка окажется изолированной в центральной треугольной порции, а каждая из шести внешних розочек окажется в своей отдельной порции, ограниченной двумя линиями разреза и краем торта.

Ответ: Нужно сделать три прямых разреза так, чтобы они попарно пересекались, но не в одной точке. Разрезы должны быть расположены таким образом, чтобы они образовали в центре торта небольшой треугольник, внутри которого окажется центральная розочка. Остальные шесть розочек, расположенные по кругу, окажутся каждая в своей из шести внешних порций.