Номер 729, страница 151 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Окружность и круг. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 729, страница 151.

Условие.

729. Диагональ AC квадрата ABCD увеличили в 3 раза и построили квадрат AMKN (рис. 39). Во сколько раз периметр квадрата AMKN больше периметра квадрата ABCD?

Рис. 39

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи сравним периметры двух квадратов: $ABCD$ и $AMKN$.

1. Найдём связь между сторонами и диагоналями квадратов.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда его периметр $P_{ABCD} = 4a$. Диагональ $AC$ по теореме Пифагора равна $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Пусть сторона квадрата $AMKN$ равна $b$. Тогда его периметр $P_{AMKN} = 4b$. Диагональ $AK$ равна $AK = \sqrt{b^2 + b^2} = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}$.

2. Используем условие задачи, чтобы найти соотношение сторон.

По условию, диагональ $AC$ увеличили в 3 раза, чтобы получить диагональ $AK$. Это означает:

$AK = 3 \cdot AC$

Подставим в это равенство выражения для диагоналей, которые мы нашли в первом пункте:

$b\sqrt{2} = 3 \cdot (a\sqrt{2})$

Теперь можно сократить обе части уравнения на $\sqrt{2}$:

$b = 3a$

Это значит, что сторона квадрата $AMKN$ в 3 раза больше стороны квадрата $ABCD$.

3. Найдём отношение периметров.

Чтобы узнать, во сколько раз периметр квадрата $AMKN$ больше периметра квадрата $ABCD$, найдём их отношение:

$\frac{P_{AMKN}}{P_{ABCD}} = \frac{4b}{4a} = \frac{b}{a}$

Так как мы выяснили, что $b = 3a$, подставим это значение в отношение:

$\frac{3a}{a} = 3$

Таким образом, периметр квадрата $AMKN$ в 3 раза больше периметра квадрата $ABCD$.

Ответ: в 3 раза.