Номер 723, страница 150 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 24. Окружность и круг. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 723, страница 150.

Условие.

723. В круге с центром $O$ отметили точку $M$. Как разрезать этот круг:

1) на три части;

2) на две части – так, чтобы из них можно было составить новый круг, в котором отмеченная точка $M$ была бы его центром?

Решение.

Решение 2.

Пусть исходный круг имеет центр в точке $O$ и радиус $R$. Обозначим его $C_O$. Отмеченная точка $M$ должна стать центром нового круга такого же радиуса $R$. Обозначим этот новый (целевой) круг $C_M$. Задача состоит в том, чтобы разрезать круг $C_O$ на части и, переместив их, сложить круг $C_M$.

Для решения мысленно наложим круг $C_M$ на круг $C_O$. Их общая часть $C_O \cap C_M$ представляет собой фигуру, похожую на линзу. Часть исходного круга, не входящая в новый ($C_O \setminus C_M$), и часть нового круга, не входящая в исходный ($C_M \setminus C_O$), представляют собой две одинаковые по форме и площади фигуры, называемые лунками. Наша задача — "переместить" лунку $C_O \setminus C_M$ на место лунки $C_M \setminus C_O$, используя разрезы.

1) на три части

Чтобы разрезать круг на три части, из которых можно составить новый круг с центром в точке $M$, нужно выполнить следующие действия:

1. Первый разрез: Проведем дугу окружности с центром в точке $M$ и радиусом $R$ (то есть, границу целевого круга $C_M$). Та часть этой дуги, которая проходит внутри исходного круга $C_O$, и будет нашим первым разрезом. Этот криволинейный разрез делит исходный круг на две части:
   • Большая часть — линзообразная фигура, являющаяся пересечением двух кругов ($C_O \cap C_M$).
   • Меньшая часть — лунка ($C_O \setminus C_M$).
2. Второй разрез: Проведем прямой разрез по отрезку прямой, соединяющей центры $O$ и $M$, но только в пределах лунки, полученной на первом шаге. Этот разрез разделит лунку на две полностью одинаковые (симметричные) части.

В результате этих двух разрезов исходный круг окажется разделенным на три части: одну большую линзообразную и две маленькие, одинаковые половинки лунки.

Сборка нового круга:

1. Большую, линзообразную часть оставляем на месте. Она является общей частью исходного и нового кругов.
2. Каждую из двух маленьких частей (половинок лунки) поворачиваем на $180^\circ$ вокруг середины общего основания лунки и линзы (середины хорды, соединяющей точки пересечения окружностей).
3. После поворота эти две части идеально заполняют пустое место, необходимое для формирования нового круга $C_M$. Они в точности образуют лунку $C_M \setminus C_O$.

Таким образом, из трех полученных частей можно сложить новый круг, центр которого будет находиться в точке $M$.

Ответ: Круг нужно разрезать на три части: сначала по дуге окружности с центром в $M$ и тем же радиусом, а затем получившуюся при этом лунку разрезать пополам по линии, соединяющей центры $O$ и $M$.

2) на две части

Чтобы разрезать круг на две части, из которых можно составить новый круг с центром в точке $M$, достаточно одного разреза. Этот способ предполагает, что полученные части можно не только двигать и поворачивать, но и переворачивать (зеркально отражать).

1. Единственный разрез: Как и в первом случае, проведем разрез по дуге окружности с центром в $M$ и радиусом $R$, которая лежит внутри исходного круга $C_O$.

Этот разрез делит исходный круг на две части:

• Часть 1: Линзообразная фигура, являющаяся пересечением кругов $C_O \cap C_M$.
• Часть 2: Лунка, являющаяся частью круга $C_O$, не входящей в $C_M$ ($C_O \setminus C_M$).

Сборка нового круга:

1. Линзообразную часть (Часть 1) оставляем на месте.
2. Лунку (Часть 2) необходимо переместить так, чтобы она заполнила недостающую часть нового круга $C_M$, то есть область $C_M \setminus C_O$.
3. Можно доказать, что лунка $C_O \setminus C_M$ является зеркальным отражением лунки $C_M \setminus C_O$ относительно прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей. Поэтому, чтобы переместить Часть 2 на нужное место, ее нужно "перевернуть" (зеркально отразить) и приставить к Части 1.

В результате из этих двух частей будет сложен новый круг с центром в точке $M$.

Ответ: Круг нужно разрезать на две части по дуге окружности с центром в $M$ и тем же радиусом. Для сборки нового круга одну из частей (лунку) нужно перевернуть.