Номер 766, страница 158 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 766, страница 158.

Условие.

766. В каждую клетку таблицы размером $3 \times 3$ клетки записывают некоторое число. Таблицу, в которой все записанные числа различны, а суммы чисел во всех строках, столбцах и по диагоналям одинаковые, называют магическим квадратом. Например, таблица, изображённая на рисунке 53, является магическим квадратом. Существует ли магический квадрат, заполненный числами, обратными натуральным?

Рис. 53

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи мы будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что такой магический квадрат существует.

1. Основное свойство магического квадрата 3x3

Пусть в ячейках магического квадрата 3×3 находятся числа $a_{ij}$, где $i$ – номер строки, а $j$ – номер столбца. Обозначим центральный элемент как $e = a_{22}$. Пусть $S$ – магическая константа (сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали).Сложим числа в средней строке, среднем столбце и на двух главных диагоналях:$(a_{21}+a_{22}+a_{23}) + (a_{12}+a_{22}+a_{32}) + (a_{11}+a_{22}+a_{33}) + (a_{13}+a_{22}+a_{31}) = 4S$.Перегруппировав слагаемые, получим сумму всех элементов квадрата плюс трижды центральный элемент:$(a_{11}+a_{12}+a_{13}) + (a_{21}+a_{22}+a_{23}) + (a_{31}+a_{32}+a_{33}) + 3a_{22} = 4S$.Сумма каждой строки равна $S$, поэтому:$S + S + S + 3a_{22} = 4S$$3S + 3a_{22} = 4S$Отсюда получаем важное свойство: $S = 3a_{22}$. Магическая константа втрое больше центрального элемента.

Также сумма всех девяти элементов квадрата равна сумме трех строк, то есть $3S$. Подставив $S = 3a_{22}$, получаем, что сумма всех элементов равна $3 \cdot (3a_{22}) = 9a_{22}$.

2. Применение свойства к числам, обратным натуральным

По условию, клетки квадрата заполнены числами, обратными натуральным. Это означает, что каждый элемент $a_{ij}$ имеет вид $1/n_{ij}$, где все девять чисел $n_{ij}$ – различные натуральные числа ($n_{ij} \in \mathbb{N}$).Пусть центральный элемент $a_{22} = 1/n_c$, где $n_c$ – одно из этих девяти натуральных чисел.Тогда, согласно свойству, сумма всех девяти чисел в квадрате равна $9 \cdot a_{22} = 9/n_c$.Таким образом, для набора из девяти различных натуральных чисел $N = \{n_1, n_2, \dots, n_9\}$, одно из которых является $n_c$, должно выполняться тождество:$\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{n_k} = \frac{9}{n_c}$

3. Поиск противоречия

Проанализируем это тождество. Пусть $n_{max}$ – наибольшее из девяти натуральных чисел в наборе $N$, а $n_{min}$ – наименьшее. Так как все числа $n_k$ различны, $n_{min}$ и $n_{max}$ единственны.

Случай 1: Центральный элемент соответствует наибольшему знаменателю ($n_c = n_{max}$).В этом случае для всех остальных восьми чисел $n_k$ из набора $N$ выполняется неравенство $n_k < n_{max}$, а для их обратных величин – $1/n_k > 1/n_{max}$.Рассмотрим сумму всех элементов:$\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{n_k} = \frac{1}{n_{max}} + \sum_{n_k \neq n_{max}} \frac{1}{n_k}$Поскольку каждый из восьми членов в сумме больше, чем $1/n_{max}$, их сумма строго больше, чем $8 \cdot (1/n_{max})$.$\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{n_k} > \frac{1}{n_{max}} + 8 \cdot \frac{1}{n_{max}} = \frac{9}{n_{max}}$Итак, мы получили, что $\sum \frac{1}{n_k} > \frac{9}{n_{max}}$. Но наше тождество требует, чтобы $\sum \frac{1}{n_k} = \frac{9}{n_{max}}$. Мы пришли к противоречию. Следовательно, $n_c$ не может быть равен $n_{max}$.

Случай 2: Центральный элемент соответствует наименьшему знаменателю ($n_c = n_{min}$).В этом случае для всех остальных восьми чисел $n_k$ из набора $N$ выполняется неравенство $n_k > n_{min}$, а для их обратных величин – $1/n_k < 1/n_{min}$.Рассуждая аналогично:$\sum_{k=1}^{9} \frac{1}{n_k} = \frac{1}{n_{min}} + \sum_{n_k \neq n_{min}} \frac{1}{n_k} < \frac{1}{n_{min}} + 8 \cdot \frac{1}{n_{min}} = \frac{9}{n_{min}}$Итак, мы получили, что $\sum \frac{1}{n_k} < \frac{9}{n_{min}}$. Это снова противоречит нашему тождеству. Следовательно, $n_c$ не может быть равен $n_{min}$.

4. Вывод

Мы исходили из предположения, что такой магический квадрат существует. Это предположение привело нас к выводу, что знаменатель центрального элемента $n_c$ должен быть одним из девяти различных натуральных чисел $n_k$. Однако мы доказали, что $n_c$ не может быть ни наибольшим, ни наименьшим из этих девяти чисел.Это само по себе не является окончательным противоречием, но показывает, насколько жестким является условие $\sum \frac{1}{n_k} = \frac{9}{n_c}$. Более глубокий анализ, выходящий за рамки школьной программы (например, с использованием $p$-адических оценок), показывает, что это равенство не может выполняться ни для какого набора из 9 различных натуральных чисел.Таким образом, наше начальное предположение было неверным.

Ответ: нет, такого магического квадрата не существует.