Номер 762, страница 157 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 762, страница 157.

Условие.

762. На рисунке 52 проиллюстрирован старинный способ вычисления площади круга. Объясните, почему произведение $rl$ приближённо равно площади круга.

Рис. 52

Решение.

Решение 2.

На рисунке показан метод, позволяющий наглядно представить, как выводится формула площади круга. Круг радиуса $r$ разрезают на большое количество равных секторов. Затем эти секторы перекладывают, как показано на рисунке, образуя новую фигуру, которая по своей форме очень близка к прямоугольнику.

Рассмотрим размеры этого «прямоугольника»:

1. Его высота равна радиусу исходного круга, то есть $r$. Это видно из того, что боковые стороны фигуры образованы радиусами секторов.

2. Его длина, обозначенная как $l$, образована дугами половины секторов круга. Сумма длин этих дуг равна половине длины всей окружности. Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Таким образом, длина $l$ составляет:
$l = \frac{1}{2} C = \frac{1}{2} (2\pi r) = \pi r$.

Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на высоту. Поскольку получившаяся фигура составлена из всех секторов исходного круга, ее площадь равна площади круга. Следовательно, площадь круга $S$ приближенно равна площади этого прямоугольника:
$S \approx l \cdot r$.

Это приближение становится тем точнее, чем на большее количество узких секторов разрезан круг, так как в этом случае изогнутые основания секторов всё больше напоминают прямую линию, и фигура всё больше походит на идеальный прямоугольник.

Ответ: Произведение $rl$ приближённо равно площади круга, потому что круг можно мысленно разрезать на множество узких секторов и сложить из них фигуру, близкую по форме к прямоугольнику. Высота этого «прямоугольника» будет равна радиусу круга $r$, а длина основания $l$ — половине длины окружности. Площадь получившейся фигуры, равная площади круга, вычисляется как произведение её сторон, то есть $r \cdot l$.