Номер 757, страница 156 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 757, страница 156.

Условие.

757. Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 47.

Рис. 47

10 см

Решение.

Решение 2.

Для вычисления площади закрашенной фигуры, воспользуемся методом вычитания. Сначала найдем площадь незакрашенных частей, а затем вычтем ее из общей площади квадрата.

1. Определим параметры фигуры.
Фигура вписана в квадрат со стороной $a = 10$ см. Площадь квадрата равна: $S_{кв} = a^2 = 10^2 = 100$ см².

2. Рассмотрим конструкцию фигуры.
Закрашенная фигура, похожая на цветок с четырьмя лепестками, образована пересечением четырех полукругов, диаметры которых являются сторонами квадрата. Радиус каждого полукруга равен половине стороны квадрата: $r = a / 2 = 10 / 2 = 5$ см.

3. Найдем площадь незакрашенных частей.
Незакрашенная область состоит из четырех одинаковых угловых фигур. Найдем площадь этих фигур. Рассмотрим сумму площадей двух полукругов, построенных на левой и правой сторонах квадрата. Площадь одного полукруга: $S_{пк} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (5^2) = 12.5\pi$ см². Сумма площадей двух этих полукругов: $S_{2пк} = 2 \cdot 12.5\pi = 25\pi$ см².

Область, которую покрывают эти два полукруга (левый и правый), — это вся площадь квадрата за вычетом двух незакрашенных областей сверху и снизу. Обозначим площадь одной верхней (или нижней) незакрашенной области как $S_{угла}$. Тогда: $S_{2пк} = S_{кв} - 2 \cdot S_{угла}$

Отсюда можем найти площадь двух угловых незакрашенных областей (верхней и нижней): $2 \cdot S_{угла} = S_{кв} - S_{2пк} = 100 - 25\pi$ см².

По симметрии, две другие незакрашенные области (левая и правая) имеют такую же суммарную площадь. Таким образом, общая площадь всех четырех незакрашенных частей ($S_{незакр}$) равна: $S_{незакр} = (100 - 25\pi) + (100 - 25\pi) = 200 - 50\pi$ см².

4. Вычислим площадь закрашенной фигуры.
Теперь вычтем площадь незакрашенных частей из общей площади квадрата, чтобы найти площадь закрашенной фигуры ($S_{закр}$): $S_{закр} = S_{кв} - S_{незакр}$ $S_{закр} = 100 - (200 - 50\pi) = 100 - 200 + 50\pi = 50\pi - 100$ см².

Площадь также можно записать в виде $50(\pi - 2)$ см². Если принять $\pi \approx 3.14$, то площадь будет: $S_{закр} \approx 50(3.14 - 2) = 50 \cdot 1.14 = 57$ см².

Ответ: Площадь закрашенной фигуры равна $50\pi - 100$ см².