Номер 750, страница 155 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 750, страница 155.

Условие.

750. Вычислите площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 45.

Рис. 45

а

2 см

2 см

б

2 см

в

16 см

Решение.

Решение 2.

а

Закрашенная фигура вписана в квадрат со стороной $a = 2$ см. Площадь квадрата равна $S_{кв} = a^2 = 2^2 = 4$ см$^2$.

Закрашенная область представляет собой пересечение двух секторов круга (четвертей круга). Первый сектор имеет центр в левом нижнем углу квадрата и радиус $r=2$ см. Его площадь равна $S_1 = \frac{1}{4}\pi r^2 = \frac{1}{4}\pi \cdot 2^2 = \pi$ см$^2$.

Второй сектор имеет центр в правом верхнем углу квадрата и также радиус $r=2$ см. Его площадь $S_2$ также равна $\pi$ см$^2$.

Если сложить площади этих двух секторов, то площадь их пересечения (закрашенная область) будет посчитана дважды, а оставшаяся часть квадрата — по одному разу. Сумма площадей двух секторов равна сумме площади квадрата и площади закрашенной фигуры.

$S_1 + S_2 = S_{кв} + S_{а}$

Отсюда можно выразить площадь закрашенной фигуры $S_{а}$:

$S_{а} = S_1 + S_2 - S_{кв} = \pi + \pi - 4 = 2\pi - 4$ см$^2$.

Ответ: $(2\pi - 4)$ см$^2$.

б

Эта фигура также вписана в квадрат со стороной $a = 2$ см. Площадь квадрата $S_{кв} = 4$ см$^2$.

Закрашенную фигуру можно рассматривать как пересечение двух фигур, аналогичных той, что была в пункте а.

Первая фигура ("лепесток 1") — это закрашенная область из пункта а, образованная пересечением секторов с центрами в левом нижнем и правом верхнем углах. Её площадь $S_{леп1} = 2\pi - 4$ см$^2$.

Вторая фигура ("лепесток 2") — аналогичная, но образованная пересечением секторов с центрами в правом нижнем и левом верхнем углах. Её площадь также равна $S_{леп2} = 2\pi - 4$ см$^2$.

Объединение этих двух "лепестков" полностью покрывает весь квадрат, поэтому площадь их объединения равна площади квадрата, то есть 4 см$^2$.

Закрашенная фигура б является пересечением этих двух "лепестков". Используя формулу площади объединения $S(A \cup B) = S(A) + S(B) - S(A \cap B)$, найдём площадь пересечения $S_{б}$:

$S_{кв} = S_{леп1} + S_{леп2} - S_{б}$

$S_{б} = S_{леп1} + S_{леп2} - S_{кв} = (2\pi - 4) + (2\pi - 4) - 4 = 4\pi - 8 - 4 = 4\pi - 12$ см$^2$.

Ответ: $(4\pi - 12)$ см$^2$.

в

Закрашенная фигура представляет собой большой полукруг, из которого вырезаны два одинаковых малых полукруга.

Диаметр большого полукруга равен 16 см, следовательно, его радиус $R = 16 / 2 = 8$ см.

Площадь большого полукруга: $S_{большой} = \frac{1}{2}\pi R^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 8^2 = \frac{64\pi}{2} = 32\pi$ см$^2$.

Диаметры двух малых полукругов в сумме равны диаметру большого, значит, диаметр каждого малого полукруга равен $d = 16 / 2 = 8$ см. Радиус каждого малого полукруга $r = 8 / 2 = 4$ см.

Площадь одного малого полукруга: $S_{малый} = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi \cdot 4^2 = \frac{16\pi}{2} = 8\pi$ см$^2$.

Общая площадь двух малых полукругов: $2 \cdot S_{малый} = 2 \cdot 8\pi = 16\pi$ см$^2$.

Площадь закрашенной фигуры $S_{в}$ равна разности площади большого полукруга и общей площади двух малых полукругов:

$S_{в} = S_{большой} - 2 \cdot S_{малый} = 32\pi - 16\pi = 16\pi$ см$^2$.

Ответ: $16\pi$ см$^2$.