Номер 749, страница 155 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 749, страница 155.

Условие.

749. Начертите прямоугольник со сторонами 3 см и 4 см. Проведите диагонали прямоугольника. Приняв точку пересечения диагоналей за центр окружности, а половину диагонали – за радиус, проведите эту окружность. Измерьте линейкой диаметр полученной окружности (в сантиметрах, с точностью до единиц). На сколько квадратных сантиметров площадь круга, ограниченного этой окружностью, больше площади прямоугольника?

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи выполним последовательно все требуемые действия и вычисления.

Сначала найдем длину диагонали прямоугольника со сторонами $a = 3$ см и $b = 4$ см. Диагональ $d$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника. По теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ см.

Окружность проводится с центром в точке пересечения диагоналей и радиусом $R$, равным половине диагонали. Следовательно, эта окружность является описанной около прямоугольника.

Радиус окружности: $R = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Диаметр окружности $D$ равен двум радиусам, или, что то же самое, диагонали прямоугольника:

$D = 2R = d = 5$ см.

Теперь, имея все необходимые данные, ответим на вопросы задачи.

Измерьте линейкой диаметр полученной окружности (в сантиметрах, с точностью до единиц).

Согласно нашим вычислениям, теоретическая длина диаметра окружности составляет 5 см. Измерение этого диаметра с помощью линейки подтвердит этот результат. Округление до единиц (целых сантиметров) дает значение 5 см.

Ответ: Диаметр окружности равен 5 см.

На сколько квадратных сантиметров площадь круга, ограниченного этой окружностью, больше площади прямоугольника?

Сначала вычислим площадь прямоугольника ($S_{прям}$):

$S_{прям} = a \times b = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Затем вычислим площадь круга ($S_{круга}$), радиус которого $R = 2.5$ см:

$S_{круга} = \pi R^2 = \pi \times (2.5)^2 = 6.25\pi \text{ см}^2$.

Чтобы найти разность площадей, возьмем приближенное значение $\pi \approx 3.14$:

$S_{круга} \approx 6.25 \times 3.14 = 19.625 \text{ см}^2$.

Теперь найдем, на сколько площадь круга больше площади прямоугольника, вычтя из площади круга площадь прямоугольника:

$\Delta S = S_{круга} - S_{прям} \approx 19.625 - 12 = 7.625 \text{ см}^2$.

Ответ: Площадь круга больше площади прямоугольника на 7,625 см².