Номер 751, страница 156 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 751, страница 156.

Условие.

751. Вычислите площадь закрашенной фигуры (рис. 46), если длина стороны клетки равна 1 см.

Рис. 46

а

б

Решение.

Решение 2.

а

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из площади большого квадрата вычесть общую площадь четырех вырезанных кругов.

1. Найдем площадь большого квадрата. Длина стороны квадрата составляет 6 клеток, что равно 6 см. Площадь квадрата ($S_{квадрата}$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.

   $S_{квадрата} = 6^2 = 36$ см².

2. Найдем площадь одного круга. Диаметр каждого круга равен 2 клеткам, то есть 2 см. Радиус ($r$) равен половине диаметра: $r = 2 / 2 = 1$ см. Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$.

   $S_{круга} = \pi \times 1^2 = \pi$ см².

3. Так как кругов четыре, их общая площадь составляет:

   $4 \times S_{круга} = 4\pi$ см².

4. Вычислим площадь закрашенной фигуры ($S_{фигуры}$), вычитая общую площадь кругов из площади квадрата:

   $S_{фигуры} = S_{квадрата} - 4 \times S_{круга} = 36 - 4\pi$ см².

Ответ: $(36 - 4\pi)$ см².

б

Чтобы найти площадь закрашенной фигуры, нужно из площади большого круга вычесть общую площадь вырезанных фигур: двух квадратов, одного треугольника и одного прямоугольника.

1. Найдем площадь большого круга. Его диаметр равен 6 клеткам, то есть 6 см. Радиус ($R$) равен половине диаметра: $R = 6 / 2 = 3$ см. Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

   $S_{круга} = \pi \times 3^2 = 9\pi$ см².

2. Найдем общую площадь вырезанных фигур.

   • Площадь двух квадратов: сторона каждого квадрата равна 1 см. Площадь одного квадрата $1^2 = 1$ см². Площадь двух квадратов: $2 \times 1 = 2$ см².

   • Площадь треугольника: основание треугольника равно 2 см, а высота – 1 см. Площадь треугольника ($S_{треуг.}$) вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ah$, где $a$ – основание, $h$ – высота.

     $S_{треуг.} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ см².

   • Площадь прямоугольника: его стороны равны 2 см и 1 см. Площадь прямоугольника $2 \times 1 = 2$ см².

3. Суммарная площадь всех вырезанных фигур ($S_{выр.}$) равна:

   $S_{выр.} = 2 (\text{площадь квадратов}) + 1 (\text{площадь треугольника}) + 2 (\text{площадь прямоугольника}) = 5$ см².

4. Вычислим площадь закрашенной фигуры ($S_{фигуры}$), вычитая общую площадь вырезанных фигур из площади большого круга:

   $S_{фигуры} = S_{круга} - S_{выр.} = 9\pi - 5$ см².

Ответ: $(9\pi - 5)$ см².