Номер 761, страница 157 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 761, страница 157.

Условие.

761. Два квадрата со стороной 1 см имеют общий центр (центр квадрата – точка пересечения его диагоналей) (рис. 51). Докажите, что площадь их общей части больше $ \frac{\pi}{4} $.

Рис. 51

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим круг, вписанный в один из квадратов. Центр этого круга совпадает с общим центром квадратов.

Сторона каждого квадрата по условию равна $a = 1$ см. Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине его стороны: $r = \frac{a}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Площадь этого вписанного круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$: $S_{круга} = \pi \cdot (0.5)^2 = \pi \cdot 0.25 = \frac{\pi}{4}$ см$^2$.

Теперь докажем, что этот круг полностью содержится в общей части (пересечении) двух квадратов.

Обозначим квадраты как $K_1$ и $K_2$, а вписанный в $K_1$ круг как $C$. По определению, круг $C$ целиком лежит внутри квадрата $K_1$.

Рассмотрим второй квадрат $K_2$. Он также имеет центр в той же точке и сторону длиной 1 см. Кратчайшее расстояние от центра квадрата до его границы равно расстоянию до середины любой из его сторон, и это расстояние равно 0.5 см, что в точности равно радиусу нашего круга $C$. Любая точка круга $C$ находится на расстоянии от общего центра, не превышающем 0.5 см. Следовательно, весь круг $C$ также целиком лежит и внутри квадрата $K_2$.

Поскольку круг $C$ содержится и в $K_1$, и в $K_2$, он полностью содержится и в их общей части. Площадь общей части двух квадратов, $S_{общ}$, не может быть меньше площади фигуры, которая в ней содержится. Таким образом: $S_{общ} \ge S_{круга} = \frac{\pi}{4}$.

Общая часть двух квадратов является выпуклым многоугольником (восьмиугольником, если один квадрат повернут относительно другого, или квадратом, если они совпадают). Площадь многоугольника строго больше площади любого вписанного в него круга, так как между сторонами многоугольника и дугой окружности всегда остается некоторое пространство. Равенство достигалось бы только в том случае, если бы сама фигура была кругом. Следовательно, неравенство является строгим: $S_{общ} > \frac{\pi}{4}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.