Номер 760, страница 157 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 760, страница 157.

Условие.

760. Задача Гиппократа. (Гиппократ Хиосский — древнегреческий геометр (V в. до н. э.).) Докажите, что сумма площадей закрашенных фигур («луночек») равна площади прямоугольника (рис. 50).

Рис. 50

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи нам нужно доказать, что сумма площадей двух розовых «луночек» равна площади синего прямоугольника.

Доказательство

1. Введем обозначения.
Пусть $S_{лун}$ — искомая сумма площадей двух закрашенных луночек.
Пусть $a = 3$ см и $b = 4$ см — стороны прямоугольника.
Пусть $c = 5$ см — диагональ прямоугольника. Прямоугольник состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$.
Проверим по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $c^2 = 5^2 = 25$. Следовательно, $a^2 + b^2 = c^2$, что подтверждает, что треугольники прямоугольные.
Площадь прямоугольника: $S_{прям} = a \times b$.
Площадь полукруга, построенного на стороне $a$: $S_a$.
Площадь полукруга, построенного на стороне $b$: $S_b$.
Площадь полукруга, построенного на диагонали $c$: $S_c$.

2. Выразим площадь луночек.
Суммарная площадь двух луночек получается, если из суммы площадей двух малых полукругов ($S_a$ и $S_b$) и площади прямоугольника ($S_{прям}$) вычесть площадь большого полукруга ($S_c$), построенного на диагонали. Однако, это не совсем верно. Более точный способ:
Площадь луночек равна сумме площадей полукругов, построенных на сторонах $a$ и $b$, минус площадь той части большого полукруга (на диагонали $c$), которая находится за пределами прямоугольника.
Площадь этих частей (двух белых сегментов) равна $S_c - S_{прям}$.
Таким образом, искомая площадь луночек: $S_{лун} = (S_a + S_b) - (S_c - S_{прям}) = S_a + S_b - S_c + S_{прям}$.

3. Найдем связь между площадями полукругов.
Площадь полукруга с диаметром $d$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}\pi r^2 = \frac{1}{2}\pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{8}$.
Тогда:
$S_a = \frac{\pi a^2}{8}$
$S_b = \frac{\pi b^2}{8}$
$S_c = \frac{\pi c^2}{8}$

Найдем сумму площадей малых полукругов: $S_a + S_b = \frac{\pi a^2}{8} + \frac{\pi b^2}{8} = \frac{\pi(a^2 + b^2)}{8}$.

Так как для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$), мы можем заменить сумму квадратов катетов на квадрат гипотенузы: $S_a + S_b = \frac{\pi c^2}{8}$.

А это в точности равно площади большого полукруга: $S_c = \frac{\pi c^2}{8}$. Следовательно, мы доказали важное соотношение: $S_a + S_b = S_c$.

4. Завершение доказательства.
Вернемся к формуле для площади луночек: $S_{лун} = S_a + S_b - S_c + S_{прям}$.
Подставим в нее полученное равенство $S_a + S_b = S_c$: $S_{лун} = (S_c) - S_c + S_{прям} = S_{прям}$.
Таким образом, мы доказали, что сумма площадей закрашенных луночек равна площади прямоугольника. Что и требовалось доказать.

Для проверки можно вычислить конкретное значение площади: $S_{прям} = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$. Следовательно, сумма площадей луночек также равна $12 \text{ см}^2$.

Ответ: Сумма площадей луночек ($S_{лун}$) равна площади прямоугольника ($S_{прям}$), поскольку сумма площадей полукругов, построенных на катетах ($a, b$), равна площади полукруга, построенного на гипотенузе ($c$), что следует из теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$).