Номер 759, страница 157 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 25. Длина окружности. Площадь круга. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 759, страница 157.

Условие.

759. Докажите, что сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных дуг (рис. 49).

Рис. 49

Решение.

Решение 2.

Пусть на отрезке, на котором построены дуги, расположены $n$ красных полуокружностей и $m$ зелёных полуокружностей. Обозначим диаметры красных полуокружностей как $d_{к1}, d_{к2}, \dots, d_{кn}$, а диаметры зелёных полуокружностей как $d_{з1}, d_{з2}, \dots, d_{зм}$.

Из рисунка видно, что сумма диаметров всех красных полуокружностей равна длине всего отрезка. Обозначим длину этого отрезка буквой $L$. Таким образом:$L = d_{к1} + d_{к2} + \dots + d_{кn} = \sum_{i=1}^{n} d_{кi}$

Аналогично, сумма диаметров всех зелёных полуокружностей также равна длине этого же отрезка $L$:$L = d_{з1} + d_{з2} + \dots + d_{зм} = \sum_{j=1}^{m} d_{зj}$

Длина дуги полуокружности вычисляется по формуле $C_{дуги} = \frac{1}{2} \pi d$, где $d$ — это диаметр полуокружности.

Найдём сумму длин всех красных дуг, обозначив её $S_{красных}$:$S_{красных} = \frac{1}{2}\pi d_{к1} + \frac{1}{2}\pi d_{к2} + \dots + \frac{1}{2}\pi d_{кn}$Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\pi$ за скобки:$S_{красных} = \frac{1}{2}\pi (d_{к1} + d_{к2} + \dots + d_{кn})$Поскольку сумма диаметров красных полуокружностей равна $L$, получаем:$S_{красных} = \frac{1}{2}\pi L$

Теперь найдём сумму длин всех зелёных дуг, обозначив её $S_{зелёных}$:$S_{зелёных} = \frac{1}{2}\pi d_{з1} + \frac{1}{2}\pi d_{з2} + \dots + \frac{1}{2}\pi d_{зm}$Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}\pi$ за скобки:$S_{зелёных} = \frac{1}{2}\pi (d_{з1} + d_{з2} + \dots + d_{зm})$Поскольку сумма диаметров зелёных полуокружностей также равна $L$, получаем:$S_{зелёных} = \frac{1}{2}\pi L$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что сумма длин красных дуг равна сумме длин зелёных дуг:$S_{красных} = S_{зелёных} = \frac{1}{2}\pi L$Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку сумма диаметров как красных, так и зелёных дуг равна длине общего отрезка $L$, то и сумма длин дуг в обоих случаях одинакова и равна $\frac{1}{2}\pi L$.