Номер 783, страница 163 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 26. Цилиндр, конус, шар. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 783, страница 163.

Условие.

783. Используя только цифры 1, 2, 3, 4, записали два неравных четырёхзначных числа, у каждого из которых все цифры различны. Может ли одно из этих чисел делиться нацело на другое?

Решение.

Решение 2.

Пусть $A$ и $B$ — два различных четырехзначных числа, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, использованных по одному разу. Предположим, что одно из этих чисел делится на другое. Без ограничения общности, пусть $A$ делится на $B$, то есть $A = k \cdot B$, где $k$ — целое число.

Поскольку числа $A$ и $B$ различны ($A \ne B$), то $k \ne 1$. Так как оба числа положительные, $k$ должно быть целым числом, большим или равным 2.

Наименьшее число, которое можно составить из данных цифр, — это 1234. Наибольшее — 4321. Следовательно, частное $k$ должно удовлетворять неравенству: $k = \frac{A}{B} \le \frac{4321}{1234} \approx 3.5$. Это означает, что $k$ может быть равно только 2 или 3.

Рассмотрим сумму цифр любого из этих чисел: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Поскольку 10 не делится на 3, ни одно из чисел, составленных из этих цифр, не делится на 3.

Если бы $k=3$, то $A = 3 \cdot B$, и число $A$ должно было бы делиться на 3, что невозможно. Следовательно, $k \ne 3$.

Остается единственная возможность: $k=2$, то есть $A = 2 \cdot B$. Пусть $B$ — меньшее из чисел.

Проанализируем первую цифру числа $B$:
- Если первая цифра $B$ равна 3 или 4, то $B \ge 3124$, и тогда $A = 2 \cdot B \ge 6248$. Это невозможно, так как максимальное значение числа $A$ — 4321.
- Если первая цифра $B$ равна 2, то наименьшее такое число — 2134. Тогда $A = 2 \cdot B \ge 2 \cdot 2134 = 4268$. Число 4268 содержит цифры 6 и 8, которых нет в заданном наборе {1, 2, 3, 4}. Этот случай также невозможен.
- Следовательно, первая цифра числа $B$ должна быть 1.

Теперь рассмотрим последнюю цифру числа $B$, обозначим её $b_0$. Последняя цифра числа $A$ будет последней цифрой произведения $2 \cdot b_0$.
- Если $b_0=3$, последняя цифра $A$ будет 6 (невозможно).
- Если $b_0=4$, последняя цифра $A$ будет 8 (невозможно).
Так как первая цифра $B$ это 1, то $b_0$ не может быть 1.
- Остается только один вариант: последняя цифра $B$ — это $b_0=2$. В этом случае последняя цифра $A$ будет 4.

Итак, число $B$ должно начинаться на 1 и заканчиваться на 2. Возможные варианты для $B$: 1342 и 1432. Проверим их:
1) Если $B = 1342$, то $A = 2 \cdot 1342 = 2684$. Число 2684 содержит недопустимые цифры 6 и 8.
2) Если $B = 1432$, то $A = 2 \cdot 1432 = 2864$. Число 2864 также содержит недопустимые цифры 6 и 8.

Таким образом, случай $k=2$ также невозможен. Мы перебрали все возможные варианты и пришли к выводу, что такое деление невозможно.

Ответ: Нет, не может.