Номер 800, страница 173 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 27. Диаграммы. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 800, страница 173.

Условие.

800. Используя цифры 4, 5, 6, записали два разных трёхзначных числа. Может ли произведение этих чисел быть равным числу, записанному с помощью только цифр 0, 2, 3, 5, 6, 8? (В записи чисел цифры не повторяются.)

Решение.

Решение 2.

Для ответа на этот вопрос проанализируем свойства чисел, о которых идет речь в задаче, с помощью признаков делимости.

Исходные два разных трёхзначных числа составляются с использованием цифр 4, 5 и 6. Условие "В записи чисел цифры не повторяются" означает, что каждое из этих чисел является перестановкой цифр 4, 5 и 6 (например, 456, 465, 546 и т.д.).

Вычислим сумму цифр для любого такого числа: $4 + 5 + 6 = 15$.

Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3. Поскольку 15 делится на 3, то оба исходных трёхзначных числа делятся на 3.

Пусть эти два числа — A и B. Так как и A, и B делятся на 3, их произведение $P = A \cdot B$ должно делиться на $3 \cdot 3 = 9$.

Теперь рассмотрим число, которым должно являться это произведение. По условию, оно записано с помощью только цифр из набора {0, 2, 3, 5, 6, 8}, причём цифры в его записи не повторяются.

Оценим величину произведения, чтобы узнать количество цифр в нём.

• Наименьшее возможное произведение: $456 \times 465 = 212040$.
• Наибольшее возможное произведение: $654 \times 645 = 421830$.

В любом случае произведение является шестизначным числом.

Поскольку произведение P — это шестизначное число, в записи которого без повторений используются только цифры из набора {0, 2, 3, 5, 6, 8}, то для записи числа P должны быть использованы все шесть цифр из этого набора.

Проверим, может ли такое число делиться на 9. Для этого воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Найдём сумму цифр числа P: $0 + 2 + 3 + 5 + 6 + 8 = 24$.

Сумма цифр равна 24. Число 24 не делится на 9. Следовательно, никакое число, составленное из этих шести цифр, не может делиться на 9.

Таким образом, мы приходим к противоречию:

1. С одной стороны, произведение двух исходных чисел должно делиться на 9.
2. С другой стороны, число, записанное с помощью цифр {0, 2, 3, 5, 6, 8} без повторений, не может делиться на 9.

Это противоречие означает, что такая ситуация невозможна.

Ответ: нет, не может.