Номер 865, страница 190 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 30. Координатная прямая. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 865, страница 190.

Условие.

865. На координатной прямой отметили точки $A(2)$ и $B(8)$. Какую координату должна иметь точка $M$, чтобы отрезок $BM$ был в 2 раза длиннее отрезка $AM$? Сколько решений имеет задача?

Решение.

Решение 2.

Пусть координата искомой точки M равна $x$. Координаты заданных точек: A(2) и B(8).

Длина отрезка на координатной прямой — это модуль разности координат его концов. Следовательно, длина отрезка AM равна $|x - 2|$, а длина отрезка BM равна $|x - 8|$.

По условию задачи, отрезок BM в 2 раза длиннее отрезка AM. Это можно записать в виде уравнения:
$|x - 8| = 2 \cdot |x - 2|$

Уравнение, содержащее модуль, вида $|a| = k|b|$ (где $k>0$), равносильно совокупности двух уравнений: $a = k \cdot b$ и $a = -k \cdot b$. Рассмотрим оба этих случая для нашего уравнения.

Первый случай:
$x - 8 = 2(x - 2)$
$x - 8 = 2x - 4$
$2x - x = -8 + 4$
$x = -4$

Второй случай:
$x - 8 = -2(x - 2)$
$x - 8 = -2x + 4$
$x + 2x = 4 + 8$
$3x = 12$
$x = 4$

Мы получили два разных значения для координаты точки M. Это означает, что задача имеет два решения.
Проверим оба решения:
1. Если координата M равна -4:
Длина AM = $|-4 - 2| = |-6| = 6$.
Длина BM = $|-4 - 8| = |-12| = 12$.
$12 = 2 \cdot 6$. Условие выполняется.
2. Если координата M равна 4:
Длина AM = $|4 - 2| = |2| = 2$.
Длина BM = $|4 - 8| = |-4| = 4$.
$4 = 2 \cdot 2$. Условие также выполняется.

Ответ: Точка М может иметь координату -4 или 4. Задача имеет 2 решения.