Номер 870, страница 190 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 30. Координатная прямая. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 870, страница 190.

Условие.

870. На столе стоят семь стаканов — все вверх дном. За один ход разрешается перевернуть любые четыре стакана. Можно ли за несколько ходов добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся понятием четности. Проанализируем, как меняется количество стаканов, стоящих вверх дном, после каждого хода.

Пусть «неправильное» положение — это стакан вверх дном, а «правильное» — стакан дном вниз.

Изначально у нас 7 стаканов в «неправильном» положении. Число 7 — нечетное.

За один ход мы переворачиваем 4 стакана. Рассмотрим все возможные случаи того, как может измениться количество «неправильных» стаканов:

• Переворачиваем 4 «неправильных» стакана. Они становятся «правильными». Количество «неправильных» стаканов уменьшается на 4. Изменение: -4 (четное).
• Переворачиваем 3 «неправильных» и 1 «правильный». 3 «неправильных» становятся «правильными» (-3), а 1 «правильный» становится «неправильным» (+1). Общее изменение: $-3 + 1 = -2$ (четное).
• Переворачиваем 2 «неправильных» и 2 «правильных». 2 «неправильных» становятся «правильными» (-2), а 2 «правильных» становятся «неправильными» (+2). Общее изменение: $-2 + 2 = 0$ (четное).
• Переворачиваем 1 «неправильный» и 3 «правильных». 1 «неправильный» становится «правильным» (-1), а 3 «правильных» становятся «неправильными» (+3). Общее изменение: $-1 + 3 = +2$ (четное).
• Переворачиваем 4 «правильных» стакана. Они становятся «неправильными». Количество «неправильных» стаканов увеличивается на 4. Изменение: +4 (четное).

Как мы видим, при любом действии количество стаканов, стоящих вверх дном, изменяется на четное число. Это ключевой момент, который называется инвариантом четности.

В начальном состоянии у нас нечетное число (7) стаканов, стоящих вверх дном. Если к нечетному числу прибавить или отнять четное число, результат всегда будет нечетным.

Начало: 7 (нечетное)
После 1-го хода: $7 \pm \text{четное число} = \text{нечетное число}$
После 2-го хода: $\text{нечетное число} \pm \text{четное число} = \text{нечетное число}$
... и так далее.

Таким образом, после любого количества ходов число стаканов, стоящих вверх дном, всегда будет оставаться нечетным.

Цель задачи — чтобы все стаканы стояли правильно. Это означает, что количество стаканов вверх дном должно стать равным 0. Но 0 — это четное число. Поскольку мы никогда не сможем получить четное число стаканов в «неправильном» положении, достичь цели невозможно.

Ответ: Нет, этого сделать нельзя.