Номер 866, страница 190 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 30. Координатная прямая. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 866, страница 190.

Условие.

866. Начертите две окружности, радиусы которых равны 2 см, так, чтобы они:

1) имели две общие точки;

2) имели одну общую точку;

3) не имели общих точек.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи рассмотрим взаимное расположение двух окружностей с радиусами $r_1 = 2$ см и $r_2 = 2$ см. Их расположение зависит от расстояния $d$ между их центрами $O_1$ и $O_2$.

1) имели две общие точки

Две окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами $d$ больше модуля разности их радиусов, но меньше их суммы. Это выражается неравенством: $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$.

Подставим значения радиусов $r_1 = 2$ см и $r_2 = 2$ см:

$|2 - 2| < d < 2 + 2$

$0 < d < 4$ см

Это означает, что для того, чтобы начертить две окружности с радиусами 2 см, которые имеют две общие точки, нужно, чтобы расстояние между их центрами было строго больше 0 см и строго меньше 4 см. Например, можно выбрать расстояние $d=3$ см.

Ответ: расстояние $d$ между центрами окружностей должно удовлетворять условию $0 < d < 4$ см.

2) имели одну общую точку

Две окружности имеют одну общую точку, если они касаются друг друга. Это происходит в двух случаях: внешнее касание, когда расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = r_1 + r_2$), или внутреннее касание, когда расстояние между центрами равно модулю разности радиусов ($d = |r_1 - r_2|$).

Рассмотрим оба случая для $r_1 = 2$ см и $r_2 = 2$ см:

1. Внешнее касание: $d = 2 + 2 = 4$ см.

2. Внутреннее касание: $d = |2 - 2| = 0$ см. Если расстояние между центрами равно нулю, то центры совпадают. Так как радиусы окружностей равны, то окружности полностью совпадают и имеют бесконечно много общих точек, а не одну. Поэтому этот случай не подходит.

Следовательно, окружности будут иметь одну общую точку только при внешнем касании.

Ответ: расстояние $d$ между центрами окружностей должно быть равно 4 см ($d = 4$ см).

3) не имели общих точек

Две окружности не имеют общих точек, если расстояние между их центрами $d$ больше суммы их радиусов (окружности находятся одна вне другой) или если расстояние $d$ меньше модуля разности их радиусов (одна окружность находится внутри другой).

Применим эти условия к нашим окружностям с $r_1 = 2$ см и $r_2 = 2$ см:

1. Окружности расположены одна вне другой: $d > r_1 + r_2$, то есть $d > 2 + 2 = 4$ см.

2. Одна окружность внутри другой: $d < |r_1 - r_2|$, то есть $d < |2 - 2| = 0$. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен. (При $d=0$ окружности совпадают, как мы выяснили ранее).

Таким образом, чтобы окружности не имели общих точек, расстояние между их центрами должно быть больше 4 см.

Ответ: расстояние $d$ между центрами окружностей должно быть больше 4 см ($d > 4$ см).