Номер 116, страница 24 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 116, страница 24.

Условие.

116. Известно, что сумма натуральных чисел $a$ и $b$ кратна 7. Верно ли, что:

1) каждое из чисел $a$ и $b$ кратно 7;

2) одно из чисел кратно 7, а другое нет?

Решение.

Решение 2.

По условию задачи, сумма натуральных чисел $a$ и $b$ кратна 7. Это означает, что выражение $(a + b)$ делится на 7 без остатка. В математической записи это выглядит как $(a + b) \vdots 7$.

1) каждое из чисел a и b кратно 7;

Данное утверждение не является верным. Чтобы доказать его ложность, достаточно привести один контрпример.
Рассмотрим натуральные числа $a = 1$ и $b = 6$.
Их сумма равна $a + b = 1 + 6 = 7$.
Число 7 кратно 7, следовательно, основное условие задачи выполнено.
Однако ни число $a = 1$, ни число $b = 6$ не кратны 7.
Поскольку мы нашли пример, где сумма кратна 7, а слагаемые — нет, утверждение не является обязательным (не всегда верным).
Ответ: Нет, неверно.

2) одно из чисел кратно 7, а другое нет?

Это утверждение также неверно. Для доказательства воспользуемся свойством делимости: если сумма двух чисел делится на некоторое число и одно из слагаемых делится на это же число, то и второе слагаемое должно делиться на это число.
В нашем случае, если известно, что $(a + b) \vdots 7$ и предположить, что одно из чисел, например $a$, кратно 7 ($a \vdots 7$), то из этого обязательно следует, что и второе число, $b$, также кратно 7.
Докажем это:
Если $a$ кратно 7, то его можно представить в виде $a = 7k$, где $k$ — натуральное число.
Если сумма $(a+b)$ кратна 7, то ее можно представить как $a+b = 7m$, где $m$ — натуральное число.
Выразим $b$ из второго уравнения: $b = 7m - a$. Подставим значение $a$: $b = 7m - 7k = 7(m-k)$.
Так как $a$ и $b$ — натуральные числа, то $b > 0$, следовательно $7(m-k) > 0$, что означает $m > k$. Значит, $(m-k)$ является натуральным числом, и число $b$ также кратно 7.
Таким образом, ситуация, при которой одно из чисел кратно 7, а другое нет, невозможна, если их сумма кратна 7.
Ответ: Нет, неверно.