Номер 118, страница 24 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 118, страница 24.

Условие.

118. Можно ли утверждать, что при любом натуральном значении $a$ значение выражения $42a$ делится нацело на:

1) 6; 2) 14; 3) 17; 4) 9?

Решение.

Решение 2.

Для того чтобы выражение $42a$ делилось нацело на некоторое число $n$ при любом натуральном значении $a$, необходимо и достаточно, чтобы число 42 делилось нацело на $n$. Если 42 делится на $n$, то $42 = n \cdot k$ для некоторого целого $k$. Тогда $42a = (n \cdot k) \cdot a = n \cdot (ka)$. Так как $a$ и $k$ — целые числа, их произведение $ka$ тоже будет целым. Следовательно, $42a$ делится на $n$. Если же 42 не делится на $n$, то достаточно привести контрпример, выбрав такое натуральное $a$, при котором делимость не выполняется (например, $a=1$).

Рассмотрим каждый случай.

1) 6

Проверим, делится ли число 42 на 6.
$42 \div 6 = 7$
Деление выполняется без остатка. Это означает, что 42 является кратным 6.
Таким образом, выражение $42a$ можно представить в виде $(6 \cdot 7)a = 6 \cdot (7a)$. Так как $a$ — натуральное число, то $7a$ — тоже натуральное число. Следовательно, выражение $42a$ всегда будет кратно 6 при любом натуральном $a$.
Ответ: да, можно утверждать.

2) 14

Проверим, делится ли число 42 на 14.
$42 \div 14 = 3$
Деление выполняется нацело. Значит, 42 кратно 14.
Выражение $42a$ можно записать как $(14 \cdot 3)a = 14 \cdot (3a)$. Поскольку $a$ — натуральное число, $3a$ также является натуральным числом. Это доказывает, что $42a$ всегда делится на 14 при любом натуральном $a$.
Ответ: да, можно утверждать.

3) 17

Проверим, делится ли число 42 на 17.
$42 \div 17 = 2$ (остаток 8).
Число 42 не делится на 17 без остатка. Чтобы опровергнуть утверждение о том, что $42a$ делится на 17 при *любом* натуральном $a$, достаточно найти один контрпример.
Возьмем $a = 1$. Тогда значение выражения будет $42 \cdot 1 = 42$.
Поскольку 42 не делится на 17, утверждение неверно.
Ответ: нет, нельзя утверждать.

4) 9

Проверим, делится ли число 42 на 9.
Воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 42: $4 + 2 = 6$. Так как 6 не делится на 9, то и 42 не делится на 9.
$42 \div 9 = 4$ (остаток 6).
Поскольку 42 не делится на 9, приведем контрпример. Пусть $a = 1$. Тогда выражение равно $42 \cdot 1 = 42$, что не делится на 9.
Следовательно, нельзя утверждать, что при любом натуральном $a$ выражение $42a$ делится на 9.
Ответ: нет, нельзя утверждать.