Номер 117, страница 24 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 3. Делимость натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа - номер 117, страница 24.

Условие.

117. Известно, что каждое из натуральных чисел $a$ и $b$ не делится нацело на 9. Можно ли утверждать, что их сумма также не делится нацело на 9?

Решение.

Решение 2.

Нет, данное утверждение неверно. Тот факт, что каждое из натуральных чисел $a$ и $b$ не делится нацело на 9, не гарантирует, что их сумма также не будет делиться на 9. Чтобы опровергнуть это утверждение, достаточно привести один контрпример.

Если натуральное число не делится нацело на 9, то его можно представить в виде $9k + r$, где $k$ — целое неотрицательное число, а $r$ — остаток от деления, который может быть равен 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 или 8.

Пусть $a = 9k_1 + r_1$ и $b = 9k_2 + r_2$, где $r_1, r_2 \in \{1, 2, ..., 8\}$ — остатки от деления $a$ и $b$ на 9 соответственно.

Тогда их сумма равна: $a + b = (9k_1 + r_1) + (9k_2 + r_2) = 9(k_1 + k_2) + (r_1 + r_2)$.

Сумма $a+b$ будет делиться на 9 тогда и только тогда, когда сумма остатков $r_1+r_2$ делится на 9. Мы можем подобрать такие остатки, чтобы их сумма была кратна 9, например, $r_1=4$ и $r_2=5$ (их сумма равна 9).

Приведем контрпример. Пусть $a=4$ и $b=5$. Число $a=4$ не делится нацело на 9, и число $b=5$ не делится нацело на 9. Однако их сумма $a+b = 4+5 = 9$ делится нацело на 9.

Этот пример показывает, что из того, что два числа не делятся на 9, не следует, что их сумма не делится на 9.

Ответ: Нет, утверждать этого нельзя.