Номер 3.29, страница 90 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

З.2. Противоположные числа. Модуль числа. Глава 3. Целые числа - номер 3.29, страница 90.

Условие.

3.29. Всегда ли модуль числа равен противоположному числу, т. е. $|a| = -a$? Для каких чисел это верно?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Всегда ли модуль числа равен противоположному числу, т. е. $|a| = -a$?

Нет, не всегда. Модуль числа по определению — это неотрицательная величина, то есть $|a| \ge 0$ для любого числа $a$. Противоположное число $-a$ может быть как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим пример, когда равенство не выполняется. Возьмем любое положительное число, например, $a = 3$.

Найдем модуль этого числа: $|a| = |3| = 3$.

Найдем противоположное число: $-a = -3$.

Сравнивая результаты, видим, что $3 \neq -3$. Следовательно, для положительных чисел равенство $|a| = -a$ неверно.

Ответ: Нет, не всегда.

Для каких чисел это верно?

Равенство $|a| = -a$ верно для всех неположительных чисел, то есть для отрицательных чисел и нуля. Докажем это, используя определение модуля.

Определение модуля числа $a$: $|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Для нахождения всех чисел $a$, для которых верно равенство $|a| = -a$, рассмотрим два возможных случая.

1. Пусть $a \ge 0$ (число $a$ неотрицательное).

В этом случае, согласно определению, $|a| = a$. Подставим это в наше равенство:

$a = -a$

$a + a = 0$

$2a = 0$

$a = 0$

Значение $a = 0$ удовлетворяет исходному условию $a \ge 0$, следовательно, $a=0$ является решением.

2. Пусть $a < 0$ (число $a$ отрицательное).

В этом случае, согласно определению, $|a| = -a$. Подставим это в наше равенство:

$-a = -a$

Мы получили тождество, которое верно для всех значений $a$, удовлетворяющих условию этого случая, то есть для всех $a < 0$.

Объединив результаты, полученные в обоих случаях, мы заключаем, что равенство $|a| = -a$ выполняется для $a=0$ и для всех $a < 0$. Это можно записать в виде одного неравенства: $a \le 0$.

Ответ: Равенство верно для всех неположительных чисел, то есть при $a \le 0$.