Номер 3.31, страница 90 - гдз по математике 6 класс учебник Никольский, Потапов

З.2. Противоположные числа. Модуль числа. Глава 3. Целые числа - номер 3.31, страница 90.

Условие.

3.31. Верно ли, что $|-a| = |a|$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы определить, верно ли равенство $|-a| = |a|$, необходимо вспомнить определение модуля числа. Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Поскольку расстояние не может быть отрицательным, модуль любого числа всегда является неотрицательной величиной.

Формальное определение модуля для любого действительного числа $x$ выглядит так:

$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Проверим справедливость равенства $|-a| = |a|$, рассмотрев все возможные случаи для числа $a$.

Случай 1: $a$ — положительное число ($a > 0$)

Если $a$ — положительное число, то $-a$ — отрицательное. Согласно определению модуля: $|a| = a$. Для числа $-a$, которое меньше нуля, модуль будет равен $|-a| = -(-a) = a$. Таким образом, мы получаем $a = a$, что является верным равенством. Например, для $a=5$: $|-5| = 5$ и $|5| = 5$, следовательно $5=5$.

Случай 2: $a$ — отрицательное число ($a < 0$)

Если $a$ — отрицательное число, то $-a$ — положительное. Согласно определению модуля: $|a| = -a$ (так как $a<0$, то $-a$ будет положительным). Для числа $-a$, которое больше нуля, модуль будет равен $|-a| = -a$. Таким образом, мы снова получаем верное равенство $-a = -a$. Например, для $a=-3$: $|-(-3)| = |3| = 3$ и $|-3| = 3$, следовательно $3=3$.

Случай 3: $a$ равно нулю ($a = 0$)

Если $a=0$, то и $-a=0$. Модуль нуля равен нулю: $|0| = 0$ и $|-0| = |0| = 0$. Равенство $0=0$ является верным.

Таким образом, мы рассмотрели все три возможных случая и в каждом из них равенство $|-a| = |a|$ оказалось верным. Геометрически это означает, что противоположные числа ($a$ и $-a$) равноудалены от нуля на числовой прямой, а значит, их модули равны.

Ответ: да, утверждение, что $|-a| = |a|$, верно для любого действительного числа $a$.