Номер 215, страница 55, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Параграф 1. Числа и действия с ними. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 215, страница 55.

Условие 2023.

215 Придумай задачи по схемам и реши их.

1) Скорость первого объекта: $8 \text{ км/ч}$. Скорость второго объекта: $12 \text{ км/ч}$. Объекты движутся навстречу друг другу. Общая начальная дистанция: $56 \text{ км}$. Дистанция, пройденная первым объектом до встречи: $? \text{ км}$.

Известно:

$t = 2,5 \text{ ч}$

$d_{2,5} = 56 \text{ км}$

$d_0 = ?$

2) Скорость первого объекта: $68 \text{ км/ч}$. Скорость второго объекта: $14 \text{ км/ч}$. Объекты движутся в одном направлении, начиная с одной точки. На схеме обозначена дистанция $81 \text{ км}$.

Известно:

$t_{\text{встр.}} = ?$

$d_1 = ?$

$d_4 = ?$

3) Скорость первого объекта: $3,4 \text{ км/ч}$. Скорость второго объекта: $4,2 \text{ км/ч}$. Объекты движутся навстречу друг другу. Дистанция, пройденная первым объектом до встречи: $19 \text{ км}$. Общая начальная дистанция: $? \text{ км}$.

Известно:

$t = 2 \text{ ч}$

$d_2 = 19 \text{ км}$

$s = ?$

$t_{\text{встр.}} = ?$

4) Скорость первого объекта: $4 \text{ км/ч}$. Скорость второго объекта: $16 \text{ км/ч}$. Объекты движутся в одном направлении, начиная с одной точки. На схеме обозначена дистанция $14 \text{ км}$.

Известно:

$d_t = 50 \text{ км}$

$t = ?$

Решение 2 (2023).

1)

Задача: Из двух пунктов в противоположных направлениях выехали два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 8 км/ч, а второго – 12 км/ч. Через 2,5 часа расстояние между ними стало 56 км. Какое было первоначальное расстояние между ними ($d_0$)? Какое расстояние проехал первый велосипедист?

Решение:

1. Найдем скорость удаления велосипедистов. Так как они движутся в противоположных направлениях, их скорости складываются:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = 8 \text{ км/ч} + 12 \text{ км/ч} = 20 \text{ км/ч}$

2. Найдем, на какое расстояние велосипедисты удалились друг от друга за 2,5 часа. Это расстояние равно произведению скорости удаления на время:
$s_{общ} = v_{уд} \times t = 20 \text{ км/ч} \times 2,5 \text{ ч} = 50 \text{ км}$

3. Конечное расстояние между велосипедистами (56 км) складывается из первоначального расстояния ($d_0$) и расстояния, на которое они удалились ($s_{общ}$). Значит, первоначальное расстояние равно:
$d_0 = d_{2,5} - s_{общ} = 56 \text{ км} - 50 \text{ км} = 6 \text{ км}$

4. Найдем расстояние, которое проехал первый велосипедист (обозначенное на схеме знаком "? км"):
$s_1 = v_1 \times t = 8 \text{ км/ч} \times 2,5 \text{ ч} = 20 \text{ км}$

Ответ: Первоначальное расстояние было 6 км. Первый велосипедист проехал 20 км.

2)

Задача: Из двух пунктов, расстояние между которыми 81 км, навстречу друг другу одновременно выехали автомобиль со скоростью 68 км/ч и велосипедист со скоростью 14 км/ч. Через какое время они встретятся ($t_{встр}$)? Какое расстояние проедет до встречи автомобиль ($d_1$) и велосипедист ($d_2$)?

Решение:

1. Найдем скорость сближения автомобиля и велосипедиста. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 68 \text{ км/ч} + 14 \text{ км/ч} = 82 \text{ км/ч}$

2. Найдем время до встречи, разделив первоначальное расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{s}{v_{сбл}} = \frac{81 \text{ км}}{82 \text{ км/ч}} = \frac{81}{82} \text{ ч}$

3. Найдем расстояние, которое проедет автомобиль до встречи:
$d_1 = v_1 \times t_{встр} = 68 \text{ км/ч} \times \frac{81}{82} \text{ ч} = \frac{68 \times 81}{82} = \frac{34 \times 81}{41} = \frac{2754}{41} = 67 \frac{7}{41} \text{ км}$

4. Найдем расстояние, которое проедет велосипедист до встречи (на схеме обозначено как $d_4$, но логически это $d_2$):
$d_2 = v_2 \times t_{встр} = 14 \text{ км/ч} \times \frac{81}{82} \text{ ч} = \frac{14 \times 81}{82} = \frac{7 \times 81}{41} = \frac{567}{41} = 13 \frac{34}{41} \text{ км}$

Ответ: Они встретятся через $\frac{81}{82}$ часа. Автомобиль проедет $67 \frac{7}{41}$ км, а велосипедист $13 \frac{34}{41}$ км.

3)

Задача: Два пешехода вышли навстречу друг другу из двух пунктов. Скорость первого пешехода 3,4 км/ч, а второго – 4,2 км/ч. Через 2 часа после начала движения расстояние между ними было 19 км. Каково первоначальное расстояние между пунктами ($s$)? Через какое время после начала движения они встретятся ($t_{встр}$)?

Решение:

1. Найдем скорость сближения пешеходов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 3,4 \text{ км/ч} + 4,2 \text{ км/ч} = 7,6 \text{ км/ч}$

2. Найдем расстояние, которое пешеходы прошли вместе за 2 часа:
$s_{пройд} = v_{сбл} \times t = 7,6 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 15,2 \text{ км}$

3. Первоначальное расстояние между пунктами равно сумме расстояния, которое они прошли, и расстояния, которое между ними осталось:
$s = s_{пройд} + d_2 = 15,2 \text{ км} + 19 \text{ км} = 34,2 \text{ км}$

4. Найдем общее время до встречи, разделив первоначальное расстояние на скорость сближения:
$t_{встр} = \frac{s}{v_{сбл}} = \frac{34,2 \text{ км}}{7,6 \text{ км/ч}} = 4,5 \text{ ч}$

Ответ: Первоначальное расстояние между пунктами 34,2 км. Пешеходы встретятся через 4,5 часа после начала движения.

4)

Задача: Из двух пунктов, расстояние между которыми 14 км, в одном направлении выехали два объекта. Скорость объекта, едущего впереди, 16 км/ч, а скорость объекта, едущего сзади, – 4 км/ч. Через какое время ($t$) расстояние между ними станет 50 км?
(Примечание: на схеме объекты движутся в одном направлении. Чтобы расстояние между ними увеличилось с 14 км до 50 км, объект с большей скоростью должен быть впереди. Мы решаем задачу исходя из этого условия).

Решение:

1. Найдем скорость удаления объектов. Так как они движутся в одном направлении и более быстрый объект находится впереди, скорость удаления равна разности их скоростей:
$v_{уд} = v_{впереди} - v_{сзади} = 16 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

2. Найдем, на сколько должно увеличиться расстояние между объектами.
$\Delta s = d_t - s_0 = 50 \text{ км} - 14 \text{ км} = 36 \text{ км}$

3. Найдем время, за которое это произойдет, разделив необходимое увеличение расстояния на скорость удаления:
$t = \frac{\Delta s}{v_{уд}} = \frac{36 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 3 \text{ ч}$

Ответ: Расстояние между объектами станет 50 км через 3 часа.

Условие 2010-2022.

215 Придумай задачи по схемам и реши их:

1) Два объекта, расстояние между которыми неизвестно ($d_0$), движутся навстречу друг другу. Скорость первого объекта $8$ км/ч, второго $12$ км/ч. Через $2,5$ часа расстояние между ними стало $56$ км. Каково было начальное расстояние между ними ($d_0$)?

Решение:
Скорость сближения $v_{сбл} = v_1 + v_2 = 8 + 12 = 20$ км/ч.
За $t=2,5$ часа они преодолели: $S = v_{сбл} \times t = 20 \times 2,5 = 50$ км.
Начальное расстояние: $d_0 = S + d_{2,5} = 50 + 56 = 106$ км.
Ответ: $d_0 = 106$ км.

2) Из одного пункта в одном направлении одновременно выехали два автомобиля. Скорость первого автомобиля $68$ км/ч, скорость второго $14$ км/ч. а) Через какое время первый автомобиль опередит второй на $81$ км? ($t_{встр.}$) б) Каково будет расстояние между ними через $1$ час? ($d_1$) в) Каково будет расстояние между ними через $4$ часа? ($d_4$)

Решение:
Скорость опережения (относительная скорость): $v_{отн} = v_1 - v_2 = 68 - 14 = 54$ км/ч.
а) Время, когда первый автомобиль опередит второй на $81$ км: $t_{встр.} = \frac{81}{v_{отн}} = \frac{81}{54} = 1,5$ ч.
б) Расстояние между ними через $1$ час: $d_1 = v_{отн} \times 1 = 54 \times 1 = 54$ км.
в) Расстояние между ними через $4$ часа: $d_4 = v_{отн} \times 4 = 54 \times 4 = 216$ км.
Ответ: $t_{встр.} = 1,5$ ч, $d_1 = 54$ км, $d_4 = 216$ км.

3) Два объекта начали движение из двух пунктов, расстояние между которыми неизвестно ($d_0$), и движутся в противоположных направлениях (отдаляются друг от друга). Скорость первого объекта $3,4$ км/ч, второго $4,2$ км/ч. Через $2$ часа расстояние между ними стало $19$ км. а) Каково было начальное расстояние между ними ($d_0$)? б) Насколько увеличилось расстояние между ними за $2$ часа? ($s$) в) Имеет ли смысл вопрос о времени встречи ($t_{встр.}$)?

Решение:
Скорость удаления: $v_{удал} = v_1 + v_2 = 3,4 + 4,2 = 7,6$ км/ч.
За $t=2$ часа они удалились друг от друга на: $S_{удал} = v_{удал} \times t = 7,6 \times 2 = 15,2$ км.
а) Начальное расстояние: $d_0 = d_2 - S_{удал} = 19 - 15,2 = 3,8$ км.
б) Расстояние увеличилось на $s = S_{удал} = 15,2$ км.
в) Вопрос о времени встречи ($t_{встр.}$) не имеет смысла, так как объекты удаляются друг от друга.

4) Из двух пунктов, расстояние между которыми $14$ км, одновременно в одном направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль (более медленный) движется со скоростью $4$ км/ч, второй (более быстрый) - со скоростью $16$ км/ч. Второй автомобиль находится впереди первого. Через какое время расстояние между ними станет $50$ км?

Решение:
Скорость удаления (относительная скорость): $v_{удал} = v_2 - v_1 = 16 - 4 = 12$ км/ч.
Расстояние, на которое они удалились друг от друга дополнительно: $S_{доп} = d_t - d_0 = 50 - 14 = 36$ км.
Время: $t = \frac{S_{доп}}{v_{удал}} = \frac{36}{12} = 3$ ч.
Ответ: $t = 3$ ч.

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).