Номер 218, страница 55, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 2. Арифметика. Параграф 1. Числа и действия с ними. 1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями - номер 218, страница 55.

Условие 2023.

218 1) Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.

2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.

Решение 2 (2023).

1) Пусть дано произвольное натуральное число $n$.

Квадрат этого числа равен $n^2$.

Предыдущее натуральное число равно $(n-1)$, а следующее за ним равно $(n+1)$.

Произведение предыдущего и следующего чисел равно $(n-1)(n+1)$.

Нам необходимо доказать, что $n^2 > (n-1)(n+1)$.

Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь неравенство принимает вид:

$n^2 > n^2 - 1$.

Вычтем из обеих частей неравенства $n^2$:

$n^2 - n^2 > n^2 - 1 - n^2$

$0 > -1$.

Последнее неравенство является верным. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство $n^2 > (n-1)(n+1)$ также верно для любого натурального числа $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.

2) Пусть $N$ — искомое натуральное число, а $S(N)$ — сумма его цифр. По условию задачи должно выполняться равенство: $N = 3 \cdot S(N)$.

Оценим количество цифр в числе $N$. Пусть в числе $N$ ровно $k$ цифр.

Наименьшее $k$-значное число — это $10^{k-1}$. Наибольшая возможная сумма цифр для $k$-значного числа — это $9k$ (например, для числа, состоящего из $k$ девяток).

Из условия $N = 3 \cdot S(N)$ следует, что $10^{k-1} \le N \le 3 \cdot (9k)$, то есть $10^{k-1} \le 27k$.

Проверим это неравенство для различных натуральных $k$:

• При $k=1$: $10^{1-1} = 10^0 = 1$. $27 \cdot 1 = 27$. Неравенство $1 \le 27$ верно. Значит, число может быть однозначным.
• При $k=2$: $10^{2-1} = 10^1 = 10$. $27 \cdot 2 = 54$. Неравенство $10 \le 54$ верно. Значит, число может быть двузначным.
• При $k=3$: $10^{3-1} = 10^2 = 100$. $27 \cdot 3 = 81$. Неравенство $100 \le 81$ ложно. Значит, трёхзначных решений не существует.

При $k > 3$ левая часть неравенства $10^{k-1}$ растёт гораздо быстрее, чем правая $27k$, поэтому для $k \ge 3$ решений нет. Следовательно, искомое число может быть только однозначным или двузначным.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Число однозначное.

Пусть $N = a$, где $a$ — цифра от 1 до 9. Тогда $S(N) = a$. Уравнение принимает вид: $a = 3 \cdot a$. Отсюда $2a = 0$, то есть $a=0$. Но 0 не является натуральным числом, поэтому однозначных решений нет.

Случай 2: Число двузначное.

Пусть $N = 10a + b$, где $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — цифра от 0 до 9. Тогда $S(N) = a+b$. Уравнение принимает вид:

$10a + b = 3(a+b)$

$10a + b = 3a + 3b$

$7a = 2b$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, а 7 и 2 — взаимно простые, то $a$ должно быть кратно 2, а $b$ должно быть кратно 7. Учитывая, что $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$, проверим возможные значения.

Единственная ненулевая цифра, кратная 7, это $b=7$. Подставим это значение в уравнение:

$7a = 2 \cdot 7$

$7a = 14$

$a=2$

Цифра $a=2$ удовлетворяет условию $a \in \{1, ..., 9\}$. Таким образом, мы нашли единственное двузначное число: $N=27$.

Проверка: Сумма цифр числа 27 равна $2+7=9$. Утроенная сумма цифр равна $3 \cdot 9 = 27$. Условие $27=27$ выполняется.

Ответ: 27.

Условие 2010-2022.

218 1) Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.

2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).