Номер 218, страница 55, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, часть 1

Авторы: Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Часть: 1

Цвет обложки: голубой в клеточку

ISBN: 978-5-09-107332-4

Популярные ГДЗ в 6 классе

1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Параграф 1. Числа и действия с ними. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 218, страница 55.

№218 (с. 55)
Условие 2023. №218 (с. 55)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 1, страница 55, номер 218, Условие 2023

218 1) Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.

2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.

Решение 2 (2023). №218 (с. 55)

1) Пусть дано произвольное натуральное число $n$.

Квадрат этого числа равен $n^2$.

Предыдущее натуральное число равно $(n-1)$, а следующее за ним равно $(n+1)$.

Произведение предыдущего и следующего чисел равно $(n-1)(n+1)$.

Нам необходимо доказать, что $n^2 > (n-1)(n+1)$.

Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь неравенство принимает вид:

$n^2 > n^2 - 1$.

Вычтем из обеих частей неравенства $n^2$:

$n^2 - n^2 > n^2 - 1 - n^2$

$0 > -1$.

Последнее неравенство является верным. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство $n^2 > (n-1)(n+1)$ также верно для любого натурального числа $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.

2) Пусть $N$ — искомое натуральное число, а $S(N)$ — сумма его цифр. По условию задачи должно выполняться равенство: $N = 3 \cdot S(N)$.

Оценим количество цифр в числе $N$. Пусть в числе $N$ ровно $k$ цифр.

Наименьшее $k$-значное число — это $10^{k-1}$. Наибольшая возможная сумма цифр для $k$-значного числа — это $9k$ (например, для числа, состоящего из $k$ девяток).

Из условия $N = 3 \cdot S(N)$ следует, что $10^{k-1} \le N \le 3 \cdot (9k)$, то есть $10^{k-1} \le 27k$.

Проверим это неравенство для различных натуральных $k$:

  • При $k=1$: $10^{1-1} = 10^0 = 1$. $27 \cdot 1 = 27$. Неравенство $1 \le 27$ верно. Значит, число может быть однозначным.
  • При $k=2$: $10^{2-1} = 10^1 = 10$. $27 \cdot 2 = 54$. Неравенство $10 \le 54$ верно. Значит, число может быть двузначным.
  • При $k=3$: $10^{3-1} = 10^2 = 100$. $27 \cdot 3 = 81$. Неравенство $100 \le 81$ ложно. Значит, трёхзначных решений не существует.

При $k > 3$ левая часть неравенства $10^{k-1}$ растёт гораздо быстрее, чем правая $27k$, поэтому для $k \ge 3$ решений нет. Следовательно, искомое число может быть только однозначным или двузначным.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Число однозначное.

Пусть $N = a$, где $a$ — цифра от 1 до 9. Тогда $S(N) = a$. Уравнение принимает вид: $a = 3 \cdot a$. Отсюда $2a = 0$, то есть $a=0$. Но 0 не является натуральным числом, поэтому однозначных решений нет.

Случай 2: Число двузначное.

Пусть $N = 10a + b$, где $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — цифра от 0 до 9. Тогда $S(N) = a+b$. Уравнение принимает вид:

$10a + b = 3(a+b)$

$10a + b = 3a + 3b$

$7a = 2b$

Так как $a$ и $b$ — целые числа, а 7 и 2 — взаимно простые, то $a$ должно быть кратно 2, а $b$ должно быть кратно 7. Учитывая, что $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$, проверим возможные значения.

Единственная ненулевая цифра, кратная 7, это $b=7$. Подставим это значение в уравнение:

$7a = 2 \cdot 7$

$7a = 14$

$a=2$

Цифра $a=2$ удовлетворяет условию $a \in \{1, ..., 9\}$. Таким образом, мы нашли единственное двузначное число: $N=27$.

Проверка: Сумма цифр числа 27 равна $2+7=9$. Утроенная сумма цифр равна $3 \cdot 9 = 27$. Условие $27=27$ выполняется.

Ответ: 27.

Условие 2010-2022. №218 (с. 55)
скриншот условия
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 1, страница 55, номер 218, Условие 2010-2022

218 1) Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.

2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.

Решение 1 (2010-2022). №218 (с. 55)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 1, страница 55, номер 218, Решение 1 (2010-2022) Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 1, страница 55, номер 218, Решение 1 (2010-2022) (продолжение 2)
Решение 2 (2010-2022). №218 (с. 55)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 1, страница 55, номер 218, Решение 2 (2010-2022)
Решение 3 (2010-2022). №218 (с. 55)
Математика, 6 класс Учебник, авторы: Дорофеев Георгий Владимирович, Петерсон Людмила Георгиевна, издательство Просвещение, Москва, 2023, голубого цвета, Часть 1, страница 55, номер 218, Решение 3 (2010-2022)

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 218 расположенного на странице 55 для 1-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №218 (с. 55), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Петерсон (Людмила Георгиевна), 1-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.