Номер 218, страница 55, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Авторы: Дорофеев Г. В., Петерсон Л. Г.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 1
Цвет обложки: голубой в клеточку
ISBN: 978-5-09-107332-4
Популярные ГДЗ в 6 классе
1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Параграф 1. Числа и действия с ними. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 218, страница 55.
№218 (с. 55)
Условие 2023. №218 (с. 55)
скриншот условия

218 1) Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.
2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.
Решение 2 (2023). №218 (с. 55)
1) Пусть дано произвольное натуральное число $n$.
Квадрат этого числа равен $n^2$.
Предыдущее натуральное число равно $(n-1)$, а следующее за ним равно $(n+1)$.
Произведение предыдущего и следующего чисел равно $(n-1)(n+1)$.
Нам необходимо доказать, что $n^2 > (n-1)(n+1)$.
Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.
Теперь неравенство принимает вид:
$n^2 > n^2 - 1$.
Вычтем из обеих частей неравенства $n^2$:
$n^2 - n^2 > n^2 - 1 - n^2$
$0 > -1$.
Последнее неравенство является верным. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство $n^2 > (n-1)(n+1)$ также верно для любого натурального числа $n$. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказательство приведено выше.
2) Пусть $N$ — искомое натуральное число, а $S(N)$ — сумма его цифр. По условию задачи должно выполняться равенство: $N = 3 \cdot S(N)$.
Оценим количество цифр в числе $N$. Пусть в числе $N$ ровно $k$ цифр.
Наименьшее $k$-значное число — это $10^{k-1}$. Наибольшая возможная сумма цифр для $k$-значного числа — это $9k$ (например, для числа, состоящего из $k$ девяток).
Из условия $N = 3 \cdot S(N)$ следует, что $10^{k-1} \le N \le 3 \cdot (9k)$, то есть $10^{k-1} \le 27k$.
Проверим это неравенство для различных натуральных $k$:
- При $k=1$: $10^{1-1} = 10^0 = 1$. $27 \cdot 1 = 27$. Неравенство $1 \le 27$ верно. Значит, число может быть однозначным.
- При $k=2$: $10^{2-1} = 10^1 = 10$. $27 \cdot 2 = 54$. Неравенство $10 \le 54$ верно. Значит, число может быть двузначным.
- При $k=3$: $10^{3-1} = 10^2 = 100$. $27 \cdot 3 = 81$. Неравенство $100 \le 81$ ложно. Значит, трёхзначных решений не существует.
При $k > 3$ левая часть неравенства $10^{k-1}$ растёт гораздо быстрее, чем правая $27k$, поэтому для $k \ge 3$ решений нет. Следовательно, искомое число может быть только однозначным или двузначным.
Рассмотрим эти два случая.
Случай 1: Число однозначное.
Пусть $N = a$, где $a$ — цифра от 1 до 9. Тогда $S(N) = a$. Уравнение принимает вид: $a = 3 \cdot a$. Отсюда $2a = 0$, то есть $a=0$. Но 0 не является натуральным числом, поэтому однозначных решений нет.
Случай 2: Число двузначное.
Пусть $N = 10a + b$, где $a$ — цифра от 1 до 9, а $b$ — цифра от 0 до 9. Тогда $S(N) = a+b$. Уравнение принимает вид:
$10a + b = 3(a+b)$
$10a + b = 3a + 3b$
$7a = 2b$
Так как $a$ и $b$ — целые числа, а 7 и 2 — взаимно простые, то $a$ должно быть кратно 2, а $b$ должно быть кратно 7. Учитывая, что $a \in \{1, ..., 9\}$ и $b \in \{0, ..., 9\}$, проверим возможные значения.
Единственная ненулевая цифра, кратная 7, это $b=7$. Подставим это значение в уравнение:
$7a = 2 \cdot 7$
$7a = 14$
$a=2$
Цифра $a=2$ удовлетворяет условию $a \in \{1, ..., 9\}$. Таким образом, мы нашли единственное двузначное число: $N=27$.
Проверка: Сумма цифр числа 27 равна $2+7=9$. Утроенная сумма цифр равна $3 \cdot 9 = 27$. Условие $27=27$ выполняется.
Ответ: 27.
Условие 2010-2022. №218 (с. 55)
скриншот условия

218 1) Докажи, что квадрат любого натурального числа больше произведения предыдущего и следующего за ним чисел.
2) Найди все натуральные числа, равные утроенной сумме своих цифр.
Решение 1 (2010-2022). №218 (с. 55)


Решение 2 (2010-2022). №218 (с. 55)

Решение 3 (2010-2022). №218 (с. 55)

Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по математике за 6 класс, для упражнения номер 218 расположенного на странице 55 для 1-й части к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по математике к упражнению №218 (с. 55), авторов: Дорофеев (Георгий Владимирович), Петерсон (Людмила Георгиевна), 1-й части ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.