Номер 216, страница 55, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями. Параграф 1. Числа и действия с ними. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 216, страница 55.

Условие 2023.

216 1) Бассейн при одновременном включении трёх труб может наполниться за 4 ч, через одну первую трубу – за 10 ч, а через одну вторую – за 15 ч. За сколько времени может наполниться пустой бассейн через одну третью трубу?

2) Двум экскаваторам дано задание вырыть котлован. Работая вместе, они могут выполнить это задание за 20 дней. Но сначала 24 дня проработал один экскаватор, а затем работу закончил второй. За сколько времени было выполнено задание, если экскаватор, работавший первым, может один вырыть весь котлован за 36 дней?

Решение 2 (2023).

1)

Примем объем всего бассейна за 1 единицу.

Пусть $P_1$, $P_2$ и $P_3$ – производительности (скорость наполнения) первой, второй и третьей труб соответственно, измеряемые в частях бассейна в час.

Согласно условию, три трубы вместе наполняют бассейн за 4 часа. Их общая производительность составляет:

$P_1 + P_2 + P_3 = \frac{1}{4}$ бассейна/час.

Первая труба одна наполняет бассейн за 10 часов, значит, её производительность:

$P_1 = \frac{1}{10}$ бассейна/час.

Вторая труба одна наполняет бассейн за 15 часов, её производительность:

$P_2 = \frac{1}{15}$ бассейна/час.

Чтобы найти производительность третьей трубы ($P_3$), нужно из общей производительности вычесть производительности первой и второй труб:

$P_3 = (P_1 + P_2 + P_3) - P_1 - P_2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{10} - \frac{1}{15}$.

Для вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 4, 10 и 15 равно 60.

$P_3 = \frac{1 \cdot 15}{60} - \frac{1 \cdot 6}{60} - \frac{1 \cdot 4}{60} = \frac{15 - 6 - 4}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}$ бассейна/час.

Теперь, зная производительность третьей трубы, можно найти время ($T_3$), за которое она одна наполнит бассейн. Время является величиной, обратной производительности:

$T_3 = \frac{1}{P_3} = \frac{1}{1/12} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.

2)

Примем всю работу по выкапыванию котлована за 1 единицу.

Пусть $E_1$ и $E_2$ – производительности (скорость работы) первого и второго экскаваторов соответственно, измеряемые в частях котлована в день.

Работая вместе, они выполняют задание за 20 дней. Их совместная производительность равна:

$E_1 + E_2 = \frac{1}{20}$ котлована/день.

Первый экскаватор, работая один, может вырыть котлован за 36 дней. Его производительность составляет:

$E_1 = \frac{1}{36}$ котлована/день.

Найдем производительность второго экскаватора:

$E_2 = (E_1 + E_2) - E_1 = \frac{1}{20} - \frac{1}{36}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 180:

$E_2 = \frac{9}{180} - \frac{5}{180} = \frac{4}{180} = \frac{1}{45}$ котлована/день.

Далее, по условию, первый экскаватор проработал 24 дня. Найдем, какую часть работы он выполнил за это время:

$W_1 = E_1 \times t_1 = \frac{1}{36} \times 24 = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ всей работы.

Оставшаяся часть работы, которую закончил второй экскаватор:

$W_{ост} = 1 - W_1 = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ всей работы.

Найдем время ($t_2$), которое потребовалось второму экскаватору, чтобы выполнить оставшуюся часть работы:

$t_2 = \frac{W_{ост}}{E_2} = \frac{1/3}{1/45} = \frac{1}{3} \times 45 = 15$ дней.

Общее время, затраченное на выполнение всего задания, равно сумме времени работы первого и второго экскаваторов:

$T_{общ} = t_1 + t_2 = 24 + 15 = 39$ дней.

Ответ: 39 дней.

Условие 2010-2022.

216 1) Бассейн при одновременном включении трех труб может наполниться за 4 ч, через одну первую трубу – за 10 ч, а через одну вторую – за 15 ч. За сколько времени может наполниться пустой бассейн через одну третью трубу?

2) Двум экскаваторам дано задание вырыть котлован. Работая вместе, они могут выполнить это задание за 20 дней. Но сначала 24 дня проработал один экскаватор, а затем работу закончил второй. За сколько времени было выполнено задание, если экскаватор, работавший первым, может один вырыть весь котлован за 36 дней?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).