Номер 206, страница 54, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Решение задач с помощью пропорций. Параграф 4. Пропорциональные величины. Глава 2. Арифметика. Часть 2 - номер 206, страница 54.

Условие 2023.

206 Четверо рабочих могут выполнить некоторую работу за 18 ч. Сколько ещё надо пригласить рабочих, чтобы выполнить всю работу в 1,5 раза быстрее, если производительность всех рабочих одинакова? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Решение 2 (2023).

Сколько ещё надо пригласить рабочих, чтобы выполнить всю работу в 1,5 раза быстрее, если производительность всех рабочих одинакова?

Для решения этой задачи можно использовать понятие обратной пропорциональности или рассчитать общий объем работы.

Способ 1: Через общий объем работы

1. Сначала вычислим общий объем работы. Он равен произведению количества рабочих на время работы. Примем объем работы за $A$.

$A = 4 \text{ рабочих} \times 18 \text{ ч} = 72 \text{ человеко-часа}$

2. Теперь определим новое, ускоренное время выполнения работы. По условию, работу нужно выполнить в 1,5 раза быстрее, то есть затратить в 1,5 раза меньше времени.

$T_{новое} = 18 \text{ ч} \div 1,5 = 12 \text{ ч}$

3. Рассчитаем, сколько рабочих потребуется, чтобы выполнить тот же объем работы за новое время.

$N_{новое} = A \div T_{новое} = 72 \text{ человеко-часа} \div 12 \text{ ч} = 6 \text{ рабочих}$

4. Чтобы узнать, сколько еще рабочих нужно пригласить, вычтем из нового количества рабочих первоначальное.

$6 \text{ рабочих} - 4 \text{ рабочих} = 2 \text{ рабочих}$

Способ 2: Через обратную пропорциональность

Количество рабочих и время, необходимое для выполнения определенного объема работы, являются обратно пропорциональными величинами. Это означает, что для того чтобы выполнить работу в $k$ раз быстрее, необходимо в $k$ раз больше рабочих.

Поскольку работу нужно выполнить в 1,5 раза быстрее, количество рабочих нужно увеличить в 1,5 раза.

$N_{новое} = 4 \text{ рабочих} \times 1,5 = 6 \text{ рабочих}$

Теперь найдем, сколько рабочих нужно пригласить дополнительно:

$6 \text{ рабочих} - 4 \text{ рабочих} = 2 \text{ рабочих}$

Ответ: нужно пригласить еще 2 рабочих.

Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Да, в условии задачи есть лишнее данное. Как показывает второй способ решения, для нахождения ответа не обязательно знать конкретное время выполнения работы (18 часов). Важно лишь соотношение времен.

Если количество рабочих увеличить в 1,5 раза (с 4 до 6), то время выполнения работы уменьшится в 1,5 раза, независимо от того, было ли оно изначально 18 часов, 24 часа или любое другое число. Расчет можно провести в общем виде:

Пусть $N_1=4$ рабочих выполняют работу за время $T_1$.

Нужно, чтобы $N_2$ рабочих выполнили ту же работу за время $T_2 = T_1 \div 1,5$.

Из-за обратной пропорциональности: $N_1 \times T_1 = N_2 \times T_2$.

$4 \times T_1 = N_2 \times (T_1 \div 1,5)$

Можно сократить $T_1$ в обеих частях уравнения:

$4 = N_2 \div 1,5$

$N_2 = 4 \times 1,5 = 6$

Как видно, значение в 18 часов не используется в этом расчете.

Ответ: да, лишнее данное — это время выполнения работы четырьмя рабочими, то есть 18 ч.

Условие 2010-2022.

206 Четверо рабочих могут выполнить некоторую работу за 18 ч. Сколько еще надо пригласить рабочих, чтобы выполнить всю работу в 1,5 раза быстрее, если производительность всех рабочих одинакова? Есть ли лишнее данное в условии этой задачи?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).