Номер 341, страница 78, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 2. Глава 3. Рациональные числа. Параграф 1. Понятие рационального числа. 1. Положительные и отрицательные числа - номер 341, страница 78.

Условие 2023.

341 *

1) Царь Дадон затеял построить 8 городов и соединить их прямыми дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 4 дороги и никакие две дороги не пересекались. Помоги царю Дадону нарисовать схему расположения дорог и городов.

2) Царь Салтан решил построить для своих вассалов шесть замков и соединить каждые два из них дорогами. Но он хочет, чтобы было только 3 перекрёстка и на каждом из них пересекались ровно две дороги. Сможешь ли ты нарисовать такую схему расположения дорог и замков?

Решение 2 (2023).

1)

Задача состоит в том, чтобы найти и нарисовать схему, которая представляет собой граф с 8 вершинами (городами), где каждая вершина имеет степень 4 (из каждого города выходит 4 дороги). Кроме того, граф должен быть планарным, то есть его можно нарисовать на плоскости так, чтобы рёбра (дороги) не пересекались.

Математически нам нужен планарный 4-регулярный граф с 8 вершинами. Таким графом является скелет (вершины и рёбра) квадратной антипризмы. Квадратная антипризма — это многогранник, у которого две параллельные грани являются квадратами, а остальные 8 граней — треугольники.

Вот как можно нарисовать схему такого расположения городов и дорог:

1. Расположите четыре города в виде большого квадрата. Назовём их A, B, C, D.
2. Расположите остальные четыре города в виде малого квадрата в центре большого, повёрнутого на 45 градусов. Назовём их a, b, c, d.
3. Соедините дорогими города большого квадрата по периметру: A-B, B-C, C-D, D-A.
4. Соедините дорогими города малого квадрата по периметру: a-b, b-c, c-d, d-a.
5. Теперь соедините каждый город большого квадрата с двумя ближайшими городами малого квадрата. Например: A с a и d; B с a и b; C с b и c; D с c и d.

В результате получается схема, где из каждого города выходит ровно 4 дороги (две к городам в своём квадрате и две к городам в другом квадрате), и ни одна дорога не пересекает другую.

Ниже представлена визуализация этой схемы:

Ответ: Да, помочь царю Дадону можно. Схема представляет собой вершины и рёбра квадратной антипризмы, как показано на рисунке выше.

2)

Задача состоит в том, чтобы нарисовать схему с 6 замками, где каждые два замка соединены дорогой, и при этом существует ровно 3 перекрёстка, на каждом из которых пересекаются ровно две дороги.

В терминах теории графов это означает, что нам нужно нарисовать полный граф $K_6$ (граф с 6 вершинами, где каждая вершина соединена с каждой другой) так, чтобы число пересечений рёбер было равно 3.

Известно, что минимальное число пересечений для полного графа $K_n$, обозначаемое как $cr(K_n)$, можно вычислить по формуле: $cr(K_n) = \frac{1}{4}\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-3}{2}\right\rfloor$

Для 6 замков ($n=6$): $cr(K_6) = \frac{1}{4}\left\lfloor\frac{6}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{5}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{4}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{3}{2}\right\rfloor = \frac{1}{4} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 1 = \frac{12}{4} = 3$

Минимальное возможное число перекрёстков для 6 замков, соединённых попарно, как раз равно трём. Следовательно, нарисовать такую схему возможно.

Один из способов расположить замки и дороги, чтобы получить ровно 3 перекрёстка, следующий:

1. Расположите три замка (A, B, C) по вершинам большого равностороннего треугольника.
2. Расположите остальные три замка (D, E, F) по вершинам малого равностороннего треугольника, расположенного в центре большого и ориентированного так же.
3. Соедините все пары замков прямыми дорогами.

При таком расположении пересекаться будут только три пары дорог:

• Дорога A-E пересечётся с дорогой B-D.
• Дорога B-F пересечётся с дорогой C-E.
• Дорога C-D пересечётся с дорогой A-F.

Схематичное изображение такого расположения:

Ответ: Да, нарисовать такую схему возможно. Один из вариантов — расположить три замка по вершинам большого треугольника, а три других — по вершинам малого треугольника в его центре.

Условие 2010-2022.

341 1) Царь Дадон затеял построить 8 городов и соединить их прямыми дорогами так, чтобы из каждого города выходило ровно 4 дороги и никакие две дороги не пересекались. Помоги царю Дадону нарисовать схему расположения дорог и городов.

2) Царь Салтан решил построить для своих вассалов шесть замков и соединить каждые два из них дорогами. Но он хочет, чтобы было только 3 перекрестка и на каждом из них пересекались ровно две дороги. Сможешь ли ты нарисовать такую схему расположения дорог и замков?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).